Ahoj Radku!
Pokud vím, pak telefon se ti synchronizuje právě se službou Outlook.com. Pokud je něco špatně na tomto konci, pak se s největší pravděpodobností ta samá chyba zobrazí i v telefonu.
Pokud se ještě vrátím k emailům chybějícím v Outlooku.com, ty jsou od jednoho odesílatele a z jednoho konkrétního připojeného účtu?
Jakmile budeš mít chvíli, zkus prosím připojené účty ze služby Outlook.com odstranit a postupně zase přidávat. Po přidání každého účtu bych zkusil prověřit, jestli se správně synchronizovaly všechny emaily a jakou rychlostí reaguje na doručení nové zprávy.
Příjemný den!
Pavel