Buon pomeriggio Pierluigi,
per quanto posso leggere, non sembra che abbiate sbagliato qualcosa se il computer desktop risulta correttamente attivato dopo la condivisione dell'abbonamento.
Se fossi nella tua situazione, aprirei una delle app di Office sul PC portatile, per esempio Word, ed eseguirei la disconnessione dall'account Microsoft che fornisce la licenza Microsoft 365:
Disconnettersi da Office - Supporto tecnico Microsoft
Chiuderei e, dopo un riavvio del PC, effettuerei di nuovo l'accesso:
Accedere a Office 365 - Supporto tecnico Microsoft
Prova e vedi se riesce in questo modo ad aggiornare la scadenza della licenza.
Tieni comunque a mente che è necessario che i dispositivi dove installi Office possano collegarsi di tanto in tanto ad Internet in quanto le app controlleranno almeno una volta al mese che ci sia un abbonamento associato al tuo account.
Alberto