このWebページを参考にして、以下のようにレジストリを変更したところ、管理者として実行していないコマンドプロンプトでもwingetを利用できるようになりました。いつから、なぜ、PathがREG_SZになってしまっていたのかがよく分からないのは気持ちが悪いですが、治るには治りました。
返信を寄せいていただいた方々、ありがとうございました。
PS C:\Users\wakai> REG Query HKCU\Environment /V Path
HKEY_CURRENT_USER\Environment
Path REG\_SZ C:\Users\wakai\bin;;%USERPROFILE%\AppData\Local\Microsoft\WindowsApps
PS C:\Users\wakai> if ((gi HKCU:\Environment).GetValueKind("Path") -eq "String") {sp Registry::HKEY_CURRENT_USER\Environment Path (gi HKCU:\Environment).GetValue("Path",$null,"DoNotExpandEnvironmentNames") -Type ExpandString; [Environment]::SetEnvironmentVariable("WM_SETTINGCHANGE","","User")}
PS C:\Users\wakai> REG Query HKCU\Environment /V Path
HKEY_CURRENT_USER\Environment
Path REG\_EXPAND\_SZ C:\Users\wakai\bin;;%USERPROFILE%\AppData\Local\Microsoft\WindowsApps