「ライセンス認証上限」ということがよくわかりませんが、新規インストールなのか再インストールなどを行ったことで再認証が必要になったのかどちらでしょうか。
短期間に繰り返し認証を行ったことが原因かもしれませんし、認証システムが変わったことが原因かもしれませんが、認証の仕組みは公開されていませんので詳しいことはわかりません。
どのようなライセンスなのかわかりませんが、購入したPCに初めからインストールされていたプレインストール版のOffice 2013の場合は購入したPCだけで使えるライセンスなので他のPCでは使えません。
パッケージ版(リテール版)ライセンスを購入している場合は2台までPCで使用でき他のPCへの移管もできます。
ライセンスによって認証手順も異なります。
下のサイトを参照してください。
パッケージ版の場合は初回のインストールで使用したMicrosoftアカウントに紐づけされているので、そのアカウントでサインインして再インストールします。
Office 2013をインストールする方法
Officeのインストール:Microsoftアカウント
わたしはOffice 2013へのアップグレード権が付いたパッケージ版のOffice 2010を購入してOffice 2010のプロダクトキーを使ってインストールしていましたが、Office 2010のサポート期限が切れたのでOffice 2013へのアップグレードを行い、この時はマイクロソフトから格安で購入できたOffice 2013のインストール用ディスクにOffice 2013のプロダクトキーがあり、そのプロダクトキーを使用してインストールしていますので少し特殊なケースかもしれませんが、今年の春(Office 2013のサポート終了後)にOffice 2013の再インストールを行いましたがプロダクトキーで問題なく認証されました。
ライセンスに問題がないのに認証されない場合は、電話認証するという方法があります。
電話認証でも解決しない場合は、下の2つ目のサイトにあるライセンス専用窓口で相談してみてください。
サポート期間が切れているので対応されるかどうかはわかりません。
[Office 2013] ライセンス認証をする方法
電話によるライセンス認証手続・・・エラーが表示される
余計なことかもしれませんが、Office 2013はサポート期間が終了してセキュリティ上の問題があるアプリなので新しいバージョンに買い替えたほうがいいかもしれません。
私はネット接続していないPCでOffice 2013を使っています。