Lineaire algebra voor kwantumcomputing

  • Artikel

Lineaire algebra is de taal van kwantumcomputing. Hoewel u dit niet hoeft te weten om kwantumprogramma's te implementeren of te schrijven, wordt het veel gebruikt om qubitstatussen, kwantumbewerkingen te beschrijven en om te voorspellen wat een kwantumcomputer doet als reactie op een reeks instructies.

Net zoals u kwantumcomputing beter kunt begrijpen als u bekend bent met de basisconcepten van kwantumfysica, kunt u beter begrijpen hoe kwantumalgoritmen werken als u enige basiskennis hebt van lineaire algebra. U dient op zijn minst bekend te zijn met vectoren en matrixvermenigvuldiging. U kunt uw kennis van deze algebraconcepten zo nodig opfrissen met de volgende zelfstudies over de basisbeginselen:

Vectoren en matrices in kwantumcomputing

Een qubit kan zich in een toestand van 1 of 0 of een superpositie van beide bevinden. Met behulp van lineaire algebra wordt de toestand van een qubit beschreven als een vector en wordt deze vertegenwoordigd door een matrix$\begin{bmatrix} met één kolom a \\ b \end{bmatrix}$. Het wordt ook wel een kwantumtoestandsvector genoemd en moet voldoen aan de vereiste dat $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

De elementen van de matrix geven de kans aan dat de qubit op de een of andere manier samenvouwt, waarbij $|a^2$ de kans is dat de qubit tot nul samenvouwt en $|b|^2$ de kans is dat de qubit tot één| instort. De volgende matrices zijn allemaal voorbeelden van geldige kwantumtoestandvectoren:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} en{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Kwantumbewerkingen kunnen ook worden vertegenwoordigd door een matrix. Wanneer een kwantumbewerking wordt toegepast op een qubit, worden de twee matrices waarmee ze worden uitgedrukt, vermenigvuldigd en vertegenwoordigt het resultaat de nieuwe toestand van de qubit na de bewerking.

Hier volgen twee veelvoorkomende kwantumbewerkingen die worden uitgedrukt via een matrixvermenigvuldiging.

De X bewerking wordt vertegenwoordigd door de Pauli-matrix $X$,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 amp&; 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

en wordt gebruikt om de toestand van een qubit te wijzigen van 0 in 1 (of omgekeerd), bijvoorbeeld

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

De H bewerking wordt vertegenwoordigd door de Hadamard-transformatie $H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

en plaatst een qubit in een toestand van superpositie, waarbij de kans op ineenstorting tot nul even groot is als de kans op ineenstorting tot één, zoals hier wordt weergegeven

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 0 \\\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

U ziet dat $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$, wat betekent dat de kans op het instorten tot nul en één toestand hetzelfde is.

Een matrix die een kwantumbewerking vertegenwoordigt, moet voldoen aan één vereiste: het moet een unitaire matrix zijn. Een matrix is unitair als het omgekeerde van de matrix gelijk is aan de geconjugeerde omzetting van de matrix.

Toestanden van twee qubits vertegenwoordigen

In de bovenstaande voorbeelden is de toestand van één qubit beschreven met behulp van een matrix $\begin{bmatrix} met één kolom a \\ b \end{bmatrix}$en werd het toepassen van een bewerking hierop beschreven door de twee matrices te vermenigvuldigen. In kwantumcomputers worden echter meerdere qubits gebruikt, dus hoe wordt dan de gecombineerde toestand van twee qubits beschreven?

Notitie

De echte kracht van kwantumcomputing is het gebruik van meerdere qubits om berekeningen uit te voeren. Zie Bewerkingen op meerdere qubits voor meer informatie over dit onderwerp.

Elke qubit is immers een vectorruimte, dus u kunt ze niet gewoon vermenigvuldigen. In plaats daarvan gebruikt u een tensor-product. Dit is een gerelateerde bewerking die een nieuwe vectorruimte maakt op basis van afzonderlijke vectorruimten en wordt vertegenwoordigd door het $\otimes$ symbool. Het tensorproduct van twee qubitstatussen $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ en $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ wordt bijvoorbeeld berekend

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Het resultaat is een vierdimensionale matrix, waarbij elk element een waarschijnlijkheid vertegenwoordigt. Bijvoorbeeld: $ac$ is de kans dat de twee qubits samenvallen tot 0 en 0, $ad$ is de kans van 0 en 1, enzovoort.

Net zoals een enkele qubittoestand $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ moet voldoen aan de vereiste dat $|a|^2 + |b|^2 = 1$ om een kwantumtoestand weer te geven, moet een toestand $\begin{bmatrix} met twee qubits ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ voldoen aan de vereiste dat $|ac|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Samenvatting

Lineaire algebra is de standaardtaal voor het beschrijven van kwantumcomputing en kwantumfysica. Hoewel de standaardbibliotheek van Microsoft Quantum Development Kit u helpt om geavanceerde kwantumalgoritmen uit te voeren zonder de onderliggende wiskunde te leren, kunt u door de basisbeginselen snel aan de slag te gaan en een solide basis bieden om op voort te bouwen.

Volgende stappen