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转换的矩阵表示形式

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m×n 矩阵是一组以 m 行和 n 列排列的数字。 下图显示了多个矩阵。

矩阵插图。

可以通过添加单个元素来添加大小相同的两个矩阵。 下图显示了矩阵加法的两个示例。

矩阵添加图示。

m×n 矩阵可以乘以 n×p 矩阵，结果为 m×p 矩阵。 第一个矩阵中的列数必须与第二个矩阵中的行数相同。 例如，4×2 矩阵可以乘以 2×3 矩阵来生成 4×3 矩阵。

可以将矩阵的平面和行和列中的点视为向量。 例如，（2,5）是具有两个组件的向量，（3、7、1）是具有三个组件的向量。 两个向量的点积定义如下：

（a， b） • （c， d） = ac + bd

（a， b， c） • （d， e， f） = ad + be + cf

例如，（2,3）和（5,4）的点积为 （2）（5） + （3）（4） = 22。 （2， 5， 1） 和 （4， 3， 1） 的点积是 （2）（4） + （5）（3） + （1）（1） = 24。 请注意，两个向量的点积是一个数字，而不是另一个向量。 另请注意，仅当两个向量具有相同数量的组件时，才能计算点积。

令 A(i, j) 为矩阵 A 中第 i 行第 j 列的条目。 例如，A（3,2）是第三行和第二列中矩阵 A 中的条目。 假设 A、B 和 C 是矩阵，AB = C。C 条目的计算方式如下：

C（i，j）= A 的第 i 行 • B 的第 j 列

下图显示了矩阵乘法的几个示例。

矩阵乘法插图。

如果将平面中的点视为 1×2 矩阵，则可以通过将点乘以 2×2 矩阵来转换该点。 下图显示了应用于点（2,1）的多个转换。

矩阵转换为平面中的点。

上图中显示的所有转换都是线性转换。 某些其他转换（如转换）不是线性的，不能用 2×2 矩阵表示乘法。 假设你想从点 (2, 1) 开始，将其逆时针旋转 90 度，然后在 x 方向平移 3 个单位，在 y 方向平移 4 个单位。 可以通过先进行矩阵乘法，再进行矩阵加法来实现此目的。

矩阵乘法的插图，随后进行矩阵加法。

线性变换（与 2×2 矩阵相乘）后跟平移（与 1×2 矩阵相加）称为仿射变换。 在一对矩阵（一个用于线性部分和一个用于转换）中存储仿射转换的替代方法是将整个转换存储在 3×3 矩阵中。 若要执行此操作，平面中的点必须存储在具有虚拟第三坐标的 1×3 矩阵中。 通常的技术是使所有第三个坐标都等于 1。 例如，点（2,1）由矩阵 [2 1 1] 表示。 下图显示了一个仿射变换（旋转 90 度；沿 x 方向平移 3 个单位，沿 y 方向平移 4 个单位），表示为与一个 3×3 矩阵相乘。

仿射转换图。

在前面的示例中，点（2,1）映射到点（2,6）。 请注意，3×3 矩阵的第三列包含数字 0、0、1。 对于仿射变换的 3×3 矩阵来说，始终如此。 重要数字是列 1 和 2 中的六个数字。 矩阵的左上角 2×2 部分表示转换的线性部分，第三行的前两个条目表示转换。

矩阵变换中线性部分和平移部分的插图。

在 GDI+ 中，可以将仿射变换存储在 Matrix 对象中。 由于表示相交转换的矩阵的第三列始终为 （0， 0， 1），因此在构造 Matrix 对象时，仅指定前两列中的六个数字。 该语句 Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) 构造上图中显示的矩阵。

复合变换

复合变换是一系列连续进行的变换。 请考虑以下列表中的矩阵和转换：

矩阵 转型
矩阵 A 旋转 90 度
矩阵 B 在 x 方向上缩放 2 倍
矩阵 C 在 y 方向平移 3 个单位

如果我们从点（2,1）开始，由矩阵 [2 1 1] 表示，然后乘以 A，然后 B，然后 C，点（2,1）将按列出的顺序进行三个转换。

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

无需将复合转换的三个部分存储在三个单独的矩阵中，可以将 A、B 和 C 相乘，以获取存储整个复合转换的单个 3×3 矩阵。 假设 ABC = D。然后，乘以 D 的点将得到与 A 乘以 A、B、C 相同的结果。

[2 1 1]D = [-2 5 1]

下图显示了矩阵 A、B、C 和 D。

矩阵 A、B、C 和 D 的 插图

复合转换的矩阵可以通过乘以单个转换矩阵来形成这一事实意味着任何相交转换序列都可以存储在单个 Matrix 对象中。

注意

复合转换的顺序非常重要。 一般来说，旋转、缩放、平移与缩放、旋转、平移是不同的。 同样，矩阵乘法的顺序也很重要。 通常，ABC 与 BAC 不同。

Matrix 类提供了几种用于生成复合转换的方法：Multiply、Rotate、RotateAt、Scale、Shear和 Translate。 以下示例创建了一个复合变换矩阵，该矩阵首先旋转 30 度，然后在 y 方向按 2 倍缩放，最后在 x 方向平移 5 个单位。

C# 
Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

下图显示了矩阵。

复合转换的矩阵图示。

另请参阅