Vorgänge auf mehreren Qubits

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Dieser Artikel überprüft die Regeln, die verwendet werden, um Multi-Qubit-Status aus Ein-Qubit-Status zu erzeugen, und diskutiert die Gate-Vorgänge, die in einem Gate-Set aufgenommen werden müssen, um einen universellen Mehrfach-Qubit-Quantencomputer zu formieren. Diese Tools sind erforderlich, um die Gatesätze zu verstehen, die häufig im Q# Code verwendet werden. Sie sind auch wichtig, um zu verstehen, warum Quanteneffekte wie Verschränkung oder Interferenz Quantencomputing leistungsfähiger machen als klassisches Computing.

Ein-Qubit- vs. Multi-Qubit-Gates

Die wahre Leistungsfähigkeit des Quantencomputings wird erst deutlich, wenn Sie die Anzahl der Qubits erhöhen. Einzelne Qubits verfügen über einige kontra-intuitive Features, z. B. die Möglichkeit, sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in mehr als einem Zustand zu befinden. Wenn sie in einem Quantencomputer jedoch nur Ein-Qubit-Gates hatten, dann würden ein Rechner und sicherlich ein klassischer Supercomputer seine Rechenleistung in den Schatten stellen.

Die Quantenrechenleistung entsteht u. a. dadurch, dass die Dimension des Vektorraums der Quantenzustandsvektoren exponentiell mit der Anzahl der Qubits wächst. Das heißt, dass, während ein einzelnes Qubit auf simple Weise modelliert werden kann, die Simulation einer Quantenberechnung mit fünfzig Qubits wohl an die Grenzen der bestehenden Supercomputer stoßen würde. Wenn Sie die Größe der Berechnung um nur ein zusätzliches Qubit erhöhen, verdoppelt sich der zum Speichern des Zustands erforderliche Arbeitsspeicher, und die Berechnungszeit verdoppelt sich ungefähr. Diese schnelle Verdoppelung der Rechenleistung ist der Grund, warum ein Quantencomputer mit einer relativ kleinen Anzahl von Qubits die leistungsstärksten Supercomputer von heute, morgen und darüber hinaus bei einigen Rechenaufgaben weit übertreffen kann.

Zwei-Qubit-Zustände

Wenn Sie zwei separate Qubits erhalten, eines im Zustand $\psi=\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}$\alpha\betaund das andere im Zustand$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\gamma\end{bmatrix}$, wird der entsprechende Zwei-Qubit-Zustand durch das Tensorprodukt (oder Kronecker-Produkt) von Vektoren angegeben, das wie folgt definiert wird

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\\\beta\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\gamma\\\alpha\delta\\\beta\gamma\\\beta\delta\end{bmatrix}. $$

Bei zwei Ein-Qubit-Status $\psi$ und $\phi$, jeweils der Dimension 2, ist der entsprechende Zwei-Qubit-Status $\psi\otimes\phi$ also 4-dimensional. Der Vektor

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

stellt einen Quantenzustand auf zwei Qubits dar, wenn

$$|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{{10}|^2+|\alpha_{{11}|^2=1.$$

Ganz allgemein sehen Sie, dass der Quantenzustand von $n$ Qubits durch einen Einheitenvektor $v_1 \otimes v_2 \otimes\cdots\otimes v_n$ der Dimension $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots= 2^n$ anhand dieser Konstruktion dargestellt wird. Genau wie bei einzelnen Qubits enthält der Quantenstatusvektor von mehreren Qubits alle Informationen, die zur Beschreibung des Systemverhaltens benötigt werden. Weitere Informationen zu Vektoren und Tensorprodukten finden Sie unter Vektoren und Matrizen im Quantencomputing.

Die Berechnungsgrundlage für Zwei-Qubit-Zustände bilden die Tensorprodukte aus 1-Qubit-Basiszuständen. Sie haben z. B.

\begin{align}00 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&Amp;=\begin{bmatrix}1 0 0 0 , 01\begin{bmatrix}\equiv 1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}= 0 \\ 1 0\\ 0 \end{bmatrix}\\ ,\\ 10 \equiv\begin{bmatrix}0 1 \\\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes1 0 \\\end{bmatrix}&Amp;\begin{bmatrix}=\qquad\end{bmatrix}\\\\\\0 0 1 0 , 11 \equiv\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}0 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\\\ 0\\ 1 .\end{bmatrix}\\\qquad\end{bmatrix}\\\\\\ \end{align}

Beachten Sie, dass Sie zwar immer das Tensorprodukt von zwei Einzelqubitzuständen verwenden können, um einen Zwei-Qubit-Zustand zu bilden, aber nicht alle Zwei-Qubit-Quantenzustände als Tensorprodukt aus zwei Einzelqubitzuständen geschrieben werden können. Beispielsweise gibt es keine Zustände $\psi=\begin{bmatrix}\alpha\beta\end{bmatrix}$\\und\gamma$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\end{bmatrix}$ so, dass ihr Tensorprodukt der Zustand ist.

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix} 1/\sqrt{{2}\\ 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt{{2}\end{bmatrix}.$$

Ein solcher Zwei-Qubit-Status, der nicht als Tensorprodukt von Ein-Qubit-Status geschrieben werden kann, wird &verschränkter Zustand& genannt. Die beiden Qubits werden als verschränkt bezeichnet. Da der Quantenstatus nicht als Tensorprodukt einzelner Qubit-Status betrachtet werden kann, sind die Informationen, die der Status enthält, nicht einzeln auf jeglicher der Qubits beschränkt. Stattdessen werden die Informationen nicht lokal in den Korrelationen zwischen den beiden Status gespeichert. Diese Nichtlokalität von Informationen ist eines der wichtigsten Unterscheidungsmerkmale des Quantencomputings gegenüber dem klassischen Computing und ist für eine Reihe von Quantenprotokollen, einschließlich der Quantenfehlerkorrektur, unerlässlich.

Messen von Zwei-Qubit-Zuständen

Das Messen von Zwei-Qubit-Status ist vergleichbar mit Ein-Qubit-Messungen. Messen des Status

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

$ergibt 00$ mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_{00}|{^2$, $01$ mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_{01}|^2$, $10$ mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_{{10}|^2$ und $11$ mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_{11}|^2$. Die Variablen $\alpha_{00}, \alpha_{{01}, \alpha_{{10},$ and $\alpha_{11}$ wurden absichtlich so genannt, um diese Verbindung zu verdeutlichen. Wenn das Ergebnis nach der Messung 00$ist$, ist der Quantenzustand des Zwei-Qubit-Systems reduziert und ist jetzt

$$ 00 \equiv\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

Es ist auch möglich, nur ein Qubit eines Zwei-Qubit-Quantenzustands zu messen. Wenn Sie nur ein Qubit eines Zwei-Qubit-Zustands messen, unterscheidet sich die Auswirkung der Messung subtil von der Messung von zwei Qubits. Dies liegt daran, dass der gesamte Zustand nicht auf einen berechnungsbasierten Zustand reduziert wird, sondern auf nur ein Subsystem reduziert wird. Mit anderen Worten: Das Messen eines Qubits eines Zwei-Qubit-Zustands reduziert nur das zugehörige Subsystem in einen berechnungsbasierten Basiszustand.

Um dies zu sehen, sollten Sie das erste Qubit des folgenden Zustands messen, der durch Anwenden der Hadamard-Transformation $H$ auf zwei Qubits gebildet wird, die zunächst auf das &Quot-Element festgelegt sind. 0" Zustand:

$$H^{\otimes 2\left}( \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0\right\end{bmatrix} )\frac{{1}{2}\begin{bmatrix}= 1 Amp; 1 &&Amp; 1 Amp; 1 &Amp; 1 \\ 1 &Amp; -1 &Amp; 1 &Amp; -1 \\ 1 &Amp; &-1 Amp; -1 &\\ 1 &Amp; -1 Amp; -1 Amp; -1 &Amp; -1 Amp; -1 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 0 0\\=\\\end{bmatrix}\frac{{1}{2}\begin{bmatrix} 0 1 1\\\\ 1 }=\begin{cases}\text{\mapsto\end{bmatrix}\\ Ergebnis 0 & \frac{{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\text{Ergebnis }=1 &Amp; \frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}0 0 1 1 1\end{cases}\end{bmatrix}\\ .\\\\\\ $$ Beide Ergebnisse haben eine Wahrscheinlichkeit von 50%. Dies kann aus der Tatsache abgeleitet werden, dass sich der Quantenzustand vor der Messung nicht ändert, wenn $0$ auf dem ersten Qubit durch $1$ ausgetauscht wird.

Die mathematische Regel zum Messen des ersten oder zweiten Qubits ist einfach. Lassen Sie e_k der k^{\rm th}$ Berechnungsbasisvektor und $S$ die Menge aller $e_k$ sein, sodass das betreffende Qubit den Wert $1$ für diesen Wert von $k$ übernimmt.$$$ Wenn Sie beispielsweise an der Messung des ersten Qubits $interessiert sind, besteht S$ aus $e_1\equiv 10$ und $e_3\equiv 11$. Wenn Sie daran interessiert sind, würde das zweite Qubit $S$ aus e_2\equiv 01$ und $e_3 \equiv 11$ bestehen$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, das ausgewählte Qubit auf 1$ zu $messen, für den Zustandsvektor.$\psi$

$$ P(\text{Ergebnis}=1)=\sum_{e_k \text{ im Satz } S}\psi^\dagger e_k e_k^\dagger\psi. $$

Hinweis

In diesem Artikel wird das Little-Endian-Format verwendet, um die Berechnungsgrundlage zu bezeichnen. Im Little-Endian-Format werden die am wenigsten signifikanten Bits an erster Stelle angezeigt. Beispielsweise wird die Zahl 4 im Little-Endian-Format durch die Zeichenfolge der Bits 001 dargestellt.

Da jede Qubit-Messung nur $0$ oder $1$ ergeben kann, ist die Wahrscheinlichkeit einer $0$-Messung einfach $1-P(\text{Ergebnis }=1$). Aus diesem Grund benötigen Sie nur eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, 1$ zu messen$.

Die Auswirkung, die eine solche Messung auf den Status hat, kann mathematisch ausgedrückt werden als

$$\psi\mapsto\frac{\sum_{e_k \text{ im Satz } S} e_k e_k^\dagger\psi}{\sqrt{P(\text{Ergebnis}=1)}}. $$

Der vorsichtige Leser kann sich Sorgen darüber machen, was passiert, wenn der Nenner 0 ist. Obwohl ein solcher Zustand nicht definiert ist, müssen Sie sich keine Sorgen um solche Eventualitäten machen, da die Wahrscheinlichkeit 0 ist!

Wenn Sie den oben angegebenen einheitlichen Zustandsvektor verwenden $\psi$ und an der Messung des ersten Qubits interessiert sind, dann

$$ P(\text{Messung des ersten Qubits}=1) = (\psi^\dagger e_1)(e_1^\dagger\psi)+(\psi^\dagger e_3)(e_3^\dagger\psi)=|e_1^\dagger\psi|^2+|e_3^\dagger\psi|^2. $$

Beachten Sie, dass dies nur die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten ist, die für die Messung der Ergebnisse $10$ und $11$ erwartet werden. Für unser Beispiel ergibt dies die Auswertung

$$\frac{{1}{4}\left|\begin{bmatrix}0&Amp; 0&Amp; 1&Amp; 0 1 1 1 1\\\end{bmatrix}\right|^2+{4}\left|\begin{bmatrix}\frac{1}{0&Amp;\\\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&Amp; 0&Amp; 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\right|^2=\frac{{1}{{2}. $$

das passt perfekt zu unserer Intuition. Ebenso kann der Zustand nach dem ersten Qubit als $1$ als geschrieben werden.

$$\frac{\frac{e_1}{2}+\frac{e_3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$$

wieder gemäß unserer Intuition.

Zwei-Qubit-Vorgänge

Wie im Fall eines einzelnen Qubits ist jede unitäre Transformation ein gültiger Vorgang für Qubits. Im Allgemeinen ist eine Transformation der Einheit von $n$ Qubits eine Matrix $U$ der Größe $2^n \times_2^n$ (sodass sie auf Vektoren der Größe $2^n$ wirkt), sodass $U^{-1}= U^\dagger$. Beispielsweise ist das CNOT-Gate (NICHT-kontrolliert) ein häufig verwendetes 2-Qubit-Gate und wird durch die folgende Einheitsmatrix dargestellt:

$$\operatorname{CNOT}=\begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\ 0 \\ 0\ 1\ 0\ 0 \\ 0\ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 0\ 1\ 0 \end{bmatrix}$$

Wir können auch Zwei-Qubit-Gates formieren, indem wir einzelne Qubit-Gates auf beide Qubits anwenden. Wenn Sie z. B. die Gates anwenden

$$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}$$

und

$$\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}$$

auf die ersten bzw. zweiten Qubits entspricht dies der Anwendung des durch ihr Tensorprodukt angegebenen Zwei-Qubit-Einheitsprodukts: $$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh \end{bmatrix}.$$

So können Sie Zwei-Qubit-Gates bilden, indem Sie das Tensorprodukt einiger bekannter Single-Qubit-Gates verwenden. Beispiele für Zwei-Qubit-Gates umfassen$H \otimes H$, $X \otimes\mathbf{1}$, und $X \otimes Z$.

Beachten Sie, dass zwei beliebige Ein-Qubit-Gates anhand ihres Tensorprodukts ein Zwei-Qubit-Gate definieren, während das Umgekehrte nicht der Fall ist. Nicht alle Zwei-Qubit-Gates können als Tensorprodukt von Ein-Qubit-Gates geschrieben werden. Ein solches Gate wird als verstrickendes-Gate bezeichnet. Ein Beispiel für ein verstrickendes Gate ist das CNOT-Gate.

Die Erkenntnis hinter einem nichtkontrolliertem Gate kann auf beliebige Gates generalisiert werden. Ein kontrolliertes Gate im Allgemeinen ist ein Gate, das als Identität fungiert, es sei denn, ein bestimmtes Qubit ist $1$. Sie bezeichnen eine kontrollierte Einheit, die in diesem Fall auf dem Qubit mit der Bezeichnung $x$ gesteuert wird, mit einem $\Lambda_x(U)$. Als Beispiel $\Lambdafür _0(U) e_{1}\otimes{{\psi}=e_{1}\otimes U{\psi}$ und $\Lambda_0(U) e_{0}\otimes{\psi}={e_{{0}\otimes{\psi}$, wobei $e_0$ und $e_1$ die berechnungsbasierten Basisvektoren für ein einzelnes Qubit sind, die den Werten $0$ und $1$ entsprechen. Betrachten Sie beispielsweise das folgende controlled-Z-Gate$$, dann können Sie dies als ausdrücken

$$\Lambda_0(Z)=\begin{bmatrix}1&Amp; 0&Amp; 0&Amp; 0\\0&Amp; 1&Amp; 0&Amp; 0\\0&Amp; 0&Amp; 1&Amp; 0\\0&Amp; 0&Amp; 0&-1 \end{bmatrix}=(\mathbf\mathbf{1}\otimes{ H)\operatorname{CNOT}(\mathbf{1}\otimes H). $$

Das effiziente Erstellen kontrollierter Einheiten ist eine große Herausforderung. Die einfachste Möglichkeit, dies zu implementieren, erfordert das Erstellen einer Datenbank mit kontrollierten Versionen grundlegender Gates und das Ersetzen jedes grundlegenden Gates im ursprünglichen Einheitsvorgang durch das kontrollierte Gegenstück. Dies ist häufig sehr unwirtschaftlich und intelligente Erkenntnisse können angewandt werden, um nur einige Gates durch kontrollierte Versionen zu ersetzen, um die gleiche Auswirkung zu erzielen. Aus diesem Grund bietet das Framework die Möglichkeit, entweder die naive Methode der Steuerung auszuführen oder es dem Benutzer zu ermöglichen, eine kontrollierte Version des Unitars zu definieren, wenn eine optimierte, handoptimierte Version bekannt ist.

Gates können auch mit klassischen Informationen gesteuert werden. Ein klassisch gesteuertes Nicht-Gate ist z. B. nur ein normales Nicht-Gate, es wird aber nur angewendet, wenn ein klassisches Bit $1$ und kein Quantenbit ist. In diesem Sinne kann ein klassisch gesteuertes Gate als if-Anweisung im Quantencode betrachtet werden, wobei das Gate nur in einer Verzweigung des Codes angewendet wird.

Wie im Fall eines Ein-Qubits ist eine Zwei-Qubit-Gategruppe universell, wenn eine beliebige$4\times 4$-Einheitsmatrix durch ein Produkt von Gates aus dieser Menge auf eine beliebige Präzision vergleichbar sein kann. Ein Beispiel für eine universelle Gate-Gruppe ist das Hadamard-Gate, das T-Gate und das CNOT-Gate. Durch die Verwendung von Produkten dieser Gates können Sie eine beliebige einheitliche Matrix auf zwei Qubits annähern.

Quantenverschränkung

Betrachten Sie zwei Qubits $A$ und $B$ in Überlagerungen, sodass der Zustand des globalen Systems ist.

$$\ket{\psi}_{AB}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$

In einem solchen Zustand sind beim Messen des Zustands beider Qubits in der Standardbasis nur zwei Ergebnisse möglich: $|00\rangle$ und $|11\rangle$. Beachten Sie, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweist $\frac{1}{2}$. Die Wahrscheinlichkeit, $|01\rangle$ und $|10\rangle$ zu erhalten, ist gleich null. Wenn Sie das erste Qubit messen und feststellen, dass es sich im $|Zustand 0\rangle$ befindet, können Sie positiv sein, dass sich auch das zweite Qubit im $|Zustand 0\rangle$ befindet, auch ohne es zu messen. Die Messergebnisse korrelieren, und die Qubits sind verschränkt.

Hinweis

In diesem Beispiel werden zwei Qubits verwendet, aber die Quantenverschränkung ist nicht auf zwei Qubits beschränkt. Im Allgemeinen ist es möglich, dass Systeme mit mehreren Qubits eine gemeinsame Verschränkung haben.

Verschränkte Qubits sind so korreliert, dass sie nicht unabhängig voneinander beschrieben werden können. Das heißt, jeder Vorgang, der mit dem Zustand eines Qubits in einem verschränkten Paar geschieht, wirkt sich auch auf den Zustand des anderen Qubits aus.

Eine praktische Implementierung finden Sie im Tutorial zur Untersuchung der Quantenverschränkung mit Q# und Azure Quantum.

Verschränkung in reinen Zuständen

Reine Quantenzustände sind diejenigen, die durch einen einzelnen Ket-Vektor oder eine Wellenfunktion gekennzeichnet sind und nicht als statistische Mischung (oder konvexe Kombination) anderer Quantenzustände geschrieben werden können. Auf der Bloch-Kugel werden reine Zustände durch einen Punkt auf der Oberfläche der Kugel dargestellt, während gemischte Zustände durch einen inneren Punkt dargestellt werden.

Ein reiner Zustand $\ket{\phi}_{AB}$ ist verschränkt, wenn er nicht als Kombination aus Produktzuständen der Subsysteme geschrieben werden kann, d. h$\ket{\phi}. _{AB=}\ket{a}_A \otimes\ket{b}_B.$

Betrachten Sie beispielsweise den Zustand \ket{\psi}$$_{AB}{1}{2}=\frac{ ({00}\ket{ + \ket{{10} +\ket{01} +)\ket{{11}$$

Zunächst sieht der Zustand $\ket{\psi}_{AB}$ nicht wie ein Produktzustand aus, aber wenn wir den Zustand als umschreiben

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

der Zustand $\ket{\psi}_{AB}$ ist ein Produktzustand, daher ist er nicht verschränkt.

Verschränkung in gemischten Zuständen

Gemischte Quantenzustände sind ein statistisches Ensemble von reinen Zuständen. Ein gemischter Zustand $\rho$ weist weder Quanten- noch klassische Korrelationen auf, wenn er als Produktzustand $\rho \rho = ^A}\otimes \rho^{{B}$ für einige Dichtematrizen$\rho^{A0}\geq , \rho^{B}\geq 0$ geschrieben werden kann.

Ein gemischter Zustand $\rho$ ist trennbar, wenn er als konvexe Kombination von Produktzuständen der Subsysteme geschrieben werden kann, z. B.

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_{j\otimes} \rho^{B}_{j}$$

wobei $p_j 0, \sum p_j = 1$ und $\rho^{A}_{j\geq} 0, \rho^{B}_{j}\geq 0$.\geq

Ein gemischter Zustand $\rho$ ist verschränkt, wenn er nicht trennbar ist, d. h. er kann nicht als konvexe Kombination von Produktzuständen geschrieben werden.

Tipp

Ein trennbarer Zustand enthält nur klassische Korrelationen.

Grundlegendes zu klassischen Korrelationen

Klassische Korrelationen sind auf unsere mangelnde Kenntnis des Zustands des Systems zurückzuführen. Das heißt, es gibt eine gewisse Zufälligkeit, die mit der klassischen Korrelation verbunden ist, aber sie kann durch die Gewinnung von Wissen beseitigt werden.

Betrachten Sie beispielsweise zwei Felder, die jeweils einen Ball enthalten. Wir wissen, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben, entweder blau oder rot. Wenn wir eine Box öffnen und feststellen, dass der Ball darin blau ist, wissen wir, dass auch der andere Ball blau ist. Daher sind sie korreliert. Die Unsicherheit, die wir beim Öffnen der Box haben, ist jedoch auf unseren Mangel an Wissen zurückzuführen, es ist nicht grundlegend. Der Ball war blau, bevor wir die Box öffneten. Dies ist also eine klassische Korrelation, keine Quantenkorrelation.

Der gemischte Quantenzustand des Systems, das aus den beiden Feldern $\rho_{Boxen}$ gebildet wird, kann als geschrieben werden.

$$\rho_{Boxes=}{1}{2}\frac{ (\ket{red}\bra{red}_{A\otimes}\ket{red}\bra{red} red_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{blaublau}\bra{}_A\ket{\otimes blaublau}\bra{}_B)$$

Beachten Sie, dass der Zustand $\rho_{boxes}$ trennbar ist, wobei $p_1 = p_2 =\frac{1}{2}$ dann nur klassische Korrelationen enthält. Ein weiteres Beispiel für einen gemischten trennbaren Zustand ist

$$\rho =\frac{{1}{2} (\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A{1}\otimes\ket{{1}\bra{ _B)$$

Betrachten Sie nun den folgenden Zustand:

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} ) \ket{{11}\bra{={11}\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

In diesem Fall ist unser Wissen über den Zustand perfekt, wir wissen mit maximaler Sicherheit, dass sich das System $AB im Glockenzustand $\ket{\phi^+}$ befindet und $\rho$ ein reiner Zustand$ ist. Daher gibt es keine klassischen Korrelationen. Wenn wir jedoch eine am Subsystem $A$ beobachtbare Messgröße messen, erhalten wir ein zufälliges Ergebnis, das uns Informationen über den Zustand des Subsystems $B$ liefert. Diese Zufälligkeit ist grundlegend, nämlich dies sind Quantenkorrelationen.

Ein Beispiel für einen Quantenzustand, der sowohl klassische als auch Quantenkorrelationen enthält, ist

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Tipp

  • Wenn ein verschränkter Zustand $\rho$ rein ist, enthält er nur Quantenkorrelationen.
  • Wenn ein verschränkter Zustand $\rho$ gemischt ist, enthält er sowohl klassische als auch Quantenkorrelationen.

Multi-Qubit-Systeme

Wir folgen genau den gleichen Mustern, die wir im Zwei-Qubit-Fall erforscht haben, um Multi-Qubit-Quantenstatus aus kleineren Systemen aufzubauen. Solche Status werden erstellt, indem Tensorprodukte kleinerer Status formiert werden. Betrachten Sie zum Beispiel die Verschlüsselung der Bitfolge $1011001$ auf einem Quantencomputer. Sie können dies als codieren

$$ 1011001 \equiv\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. $$

Quantengates funktionieren auf genau die gleiche Weise. Wenn Sie beispielsweise das X-Gate$ auf das $erste Qubit anwenden und dann eine CNOT zwischen dem zweiten und dritten Qubit ausführen möchten, können Sie diese Transformation als ausdrücken.

\begin{\begin{align}&Amp; (X)\otimes\operatorname{CNOT}_{{12}\otimes\mathbf{1}\otimes \mathbf{\otimes\mathbf{1} \mathbf \mathbf{{\otimes\mathbf{1}\mathbf{1}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\otimes\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\\&\qquad\qquad\equiv 0011001. \end{align}

In vielen Qubit-Systemen besteht oft die Notwendigkeit, Qubits zuzuweisen und freizugeben, die als temporärer Speicher für den Quantencomputer dienen. Ein solches Qubit gilt als helfend. Standardmäßig können Sie davon ausgehen, dass der Qubitstatus bei der Zuordnung so initialisiert ist, dass er $e_0$ . Sie können weiter davon ausgehen, dass sie vor der Deallocation erneut an $e_0$ zurückgegeben wird. Diese Annahme ist wichtig, denn wenn sich ein Hilfs-Qubit bei der Zuordnung mit einem anderen Qubit-Register verstrickt, wird der Hilfs-Qubit durch den Zuordnungsvorgang beschädigt. Aus diesem Grund gehen Sie immer davon aus, dass solche Qubits in ihren Ursprünglichen Zustand zurückgesetzt werden, bevor sie freigegeben werden.

Schließlich, obwohl neue Gates zu unserem Gateset hinzugefügt werden mussten, um universelles Quantencomputing für Zwei-Qubit-Quantencomputer zu erzielen, müssen im Multi-Qubit-Fall keine neuen Gates eingeführt werden. Die Gates $H$, $T$ und CNOT bilden ein universelles Gate, das für viele Qubits festgelegt ist, da jede allgemeine unitäre Transformation in eine Reihe von zwei Qubit-Rotationen unterteilt werden kann. Sie können dann die für den Zwei-Qubit-Fall entwickelte Theorie nutzen und sie hier wieder verwenden, wenn Sie viele Qubits haben.

Hinweis

Während die bisher verwendete lineare algebraische Notation sicherlich verwendet werden kann, um Multi-Qubit-Zustände zu beschreiben, wird sie immer umständlicher, wenn Sie die Größe der Zustände erhöhen. Der resultierende Spaltenvektor für eine Bitfolge der Länge 7 ist z. B. $128$ dimensional, was die Darstellung mit der zuvor beschriebenen Notierung sehr umständlich gestaltet. Stattdessen wird die Dirac-Notation verwendet, eine symbolische Kurzform, die die Darstellung von Quantenzuständen vereinfacht. Weitere Informationen finden Sie unter Dirac-Notation.

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