Veranglement und Korrelationen

Veranglement ist ein grundlegendes Konzept der Quantenmechanik, das eine Quantenkorrelation zwischen Quantensystemen beschreibt. Wenn zwei oder mehr Qubits verangt sind, hängt der Zustand eines Qubits vom Zustand des anderen Qubits ab, auch wenn sie weit auseinander liegen. Diese Quantenkorrelation ist ein einzigartiges Merkmal von Quantensystemen, das kein klassisches Gegenstück hat.

In diesem Artikel finden Sie eine Übersicht über Veranglement, Korrelationen und erläuterungen zum Erstellen von Veranglementen mithilfe von Quantentoren.

Was ist Verschränkung?

Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Qubits, $A$ und $B$. Die Qubits sind voneinander unabhängig, was bedeutet, dass die Informationen über den Zustand von Qubit $A$, was auch immer er ist, nur zu Qubit $A$ gehört. Ebenso gehören die Informationen zum Zustand von Qubit B zu Qubit $$B$.$ In diesem Fall werden die Qubits nicht verkettet, da sie keine Informationen über ihre Zustände freigeben.

Stellen Sie sich nun vor, dass Sie die Qubits verangen. Wenn Qubits $A$ und $B$ verkettet sind, sind die Informationen über den Zustand von Qubit $A$ nicht unabhängig vom Zustand von Qubit $B$. Wenn sie verangt werden, werden Informationen zwischen beiden Qubits geteilt, und es gibt keine Möglichkeit, den Zustand von Qubit $A$ oder Qubit $B$ zu kennen. Sie können nur den Zustand des globalen Systems beschreiben, nicht den Zustand der einzelnen Qubits.

Die Verschränkung ist eine Quantenkorrelation zwischen zwei oder mehr Partikeln. Wenn zwei Partikel verschränkt sind, können sie nicht unabhängig, sondern nur als ganzes System beschrieben werden.

Zwei oder mehr Partikel können verangt werden, auch wenn sie durch große Entfernungen voneinander getrennt sind. Diese Korrelation ist stärker als jede klassische Korrelation, und es ist eine wichtige Ressource für Quanteninformationsverarbeitungsaufgaben wie Quantenteleportation, Quantenkryptografie und Quantencomputing. Wenn Sie erfahren möchten, wie Sie ein Qubit mithilfe von Veranglement teleportieren, schauen Sie sich dieses Modul im Azure Quantum-Schulungspfad an.

Hinweis

Veranglement ist eine Eigenschaft von Multi-Qubit-Systemen, nicht von einzelnen Qubits. Das heißt, ein einzelner Qubit kann nicht verangt werden.

Definieren der Verschränkung in Quantensystemen

Stellen Sie sich zwei Qubits $A$ und $B$ so vor, dass der Zustand des globalen Systems $\ket{\phi}$ folgender ist:

$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$

Hinweis

In Diracnotation 0_A 0_B $\ket{}=|0_\text{A|}0\rangle\rangle_\text{B.}$ Die erste Position entspricht dem ersten Qubit und die zweite Position entspricht dem zweiten Qubit.

Das globale System $\ket{\phi}$ befindet sich in einer Superposition der Zustände $|00\rangle$ und $|11\rangle$. Aber was ist der individuelle Zustand von Qubit $A$? Und von Qubit $B$? Wenn Sie versuchen, den Zustand von Qubit $A$ zu beschreiben, ohne den Zustand von Qubit $B$ zu berücksichtigen, schlagen Sie fehl. Subsysteme $A$ und $B$ sind verangt und können nicht unabhängig voneinander beschrieben werden.

Wenn Sie beide Qubits messen, sind nur zwei Ergebnisse möglich: $\ket{und , jeweils{11}$$\ket{ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{{2}$.{00}$ Die Wahrscheinlichkeit, die Zustände $|01\rangle$ und $|10\rangle$ zu erhalten, ist Null.

Aber was geschieht, wenn Sie nur ein Qubit messen? Wenn zwei Partikel verschränkt werden, werden auch die Messergebnisse korreliert. Das heißt, welcher Vorgang mit dem Zustand eines Qubits in einem verangten Paar geschieht, wirkt sich auch auf den Zustand des anderen Qubits aus.

Wenn Sie nur den Qubit $A$ messen und den Status $|0\rangle$ erhalten, bedeutet dies, dass das globale System in den Zustand $\ket{00}$reduziert wird. Dies ist das einzige mögliche Ergebnis, da die Wahrscheinlichkeit der Messung von $|01\rangle$ null ist. Also, ohne den Qubit $B$ zu messen, können Sie sicher sein, dass der zweite Qubit auch im $|Zustand 0\rangle$ ist. Die Messergebnisse korrelieren, weil die Qubits verschränkt sind.

Der Quantenzustand $\ket{\phi}$ wird als Bell-Zustand bezeichnet. Es gibt vier Glockenzustände:

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

Hinweis

In diesem Beispiel werden zwei Qubits verwendet, aber die Quantenanglementierung ist nicht auf zwei Qubits beschränkt. Im Allgemeinen ist es möglich, dass mehrere Qubit-Systeme die Verschränkung gemeinsam nutzen.

Erstellen von Veranglement mit Quantenvorgängen

Sie können Quantenoperationen verwenden, um eine Quantenanglement zu erzeugen. Eine der am häufigsten verwendeten Methoden zum Erstellen von Veranglementen zu zwei Qubits im Zustand $|00\rangle$ besteht darin, den Hadamard-Vorgang $H$ und den kontrollierten NOT-Vorgang $CNOT$ anzuwenden, um sie in den Bell-Zustand $\ket{\phi^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$ umzuwandeln.

Der $CNOT-Vorgang$ verwendet zwei Qubits als Eingabe, eine fungiert als Steuer-Qubit und das andere ist der Ziel-Qubit. Der CNOT Vorgang kippt den Status des Ziel-Qubits, wenn der Status des Steuerelement-Qubits 1\rangle$ ist$|.

Eingabe	Ausgabe
$\ket{00}$	$\ket{00}$
$\ket{01}$	$\ket{01}$
$\ket{10}$	$\ket{11}$
$\ket{11}$	$\ket{10}$

So funktioniert es:

1. Nehmen Sie zum Beispiel zwei Qubits mit dem Zustand $|00\rangle$. Der erste Qubit ist der Steuer-Qubit, und der zweite Qubit ist der Ziel-Qubit.

2. Erstellen Sie durch Anwenden von $$H$ ein Superpositionszustand nur im Steuerungsqubit vor.

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   Hinweis

   Die tiefgestellten ${}_c$ und ${}_t$ das Steuerelement und die Ziel-Qubits angeben.

3. Wenden Sie den $CNOT-Operator$ auf das Steuerelement-Qubit an, das sich in einem Superpositionszustand befindet, und das Ziel-Qubit, das sich im Zustand $|0_t\rangle$ befindet.

   $$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$

Tipp

Informationen zum Verangern von zwei Qubits finden Q#Sie in der Schnellstartanleitung: Erstellen Ihres ersten Q# Programms.

Separierbarkeit und Quantenanglement

Veranglement kann als mangels Trennbarkeit betrachtet werden: Ein Zustand ist verangt, wenn er nicht separierbar ist.

Ein Quantenzustand ist separierbar, wenn er als Produktzustand der Subsysteme geschrieben werden kann. Das heißt, ein Zustand $\ket{\phi}{\text{AB}}$ ist separierbar, wenn er als Eine Kombination von Produktzuständen der Subsysteme geschrieben werden kann, d$\ket{\phi}{\text{. h. AB=\ket{}}a}_A \otimes\ket{b}_B.$

Veranglement in reinen Zuständen

Ein reiner Quantenzustand ist ein einzelner Ketvektor, z. B. der Zustand $\ket{+\frac{{1}{\sqrt{}={2}}(\ket{0} + \ket{1}).$

Reine Zustände können nicht als statistische Mischung (oder konvexe Kombination) anderer Quantenzustände geschrieben werden.

Auf der Bloch-Kugel werden reine Zustände durch einen Punkt auf der Oberfläche der Kugel dargestellt, während gemischte Zustände durch einen Innenpunkt dargestellt werden.

Ein reiner Zustand$\ket{\phi}{AB}$ ist verangt, wenn er nicht als Kombination aus Produktzuständen der Subsysteme geschrieben werden kann, d$\ket{\phi}{. h. AB=}\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$

Betrachten Sie z. B. den Zustand \ket{\psi}$$_{AB={1}{2}}\frac{ ({00}\ket{ + +{10}\ket{01} \ket{+)\ket{{11}$$

Zunächst sieht der Zustand $\ket{\psi}"_{AB}$ " nicht wie ein Produktzustand aus, aber wenn der Zustand neu geschrieben wird

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

der Zustand $\ket{\psi}"_{\text{AB}}$ " ist ein Produktzustand, daher ist er nicht verangt.

Veranglement in gemischten Zuständen

Gemischte Quantenzustände sind ein statistisches Ensemble reiner Zustände. Um gemischte Zustände zu beschreiben, ist die Verwendung ihrer Dichtematrix $\rho$ anstelle der Ket-Notation einfacher.

Ein gemischter Zustand $\rho$ ist separierbar, wenn er als konvexe Kombination aus Produktzuständen der Subsysteme geschrieben werden kann, z. B.

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$

dabei $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ und $\rho^{A}_j \geq 0, \rho^{B}_j \geq 0$.

Weitere Informationen finden Sie unter Dichtematrizen.

Ein gemischter Zustand $\rho$ ist verangt, wenn er nicht separierbar ist, d. h. er kann nicht als konvexe Kombination aus Produktzuständen geschrieben werden.

Hinweis

• Wenn ein verangter Zustand $\rho$ rein ist, enthält er nur Quantenkorrelationen.
• Wenn ein verangter Zustand $\rho$ gemischt wird, enthält er sowohl klassische als auch Quantenkorrelationen.

Grundlegendes zu klassischen Korrelationen

Klassische Korrelationen sind auf das Fehlen von Wissen über den Zustand des Systems zurückzuführen. Das heißt, es gibt einige Zufallszahlen, die der klassischen Korrelation zugeordnet sind, aber es kann durch die Gewinnung von Wissen beseitigt werden.

Betrachten Sie beispielsweise zwei Boxen, die jeweils einen Ball enthalten. Sie wissen, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben, entweder blau oder rot. Wenn Sie einen Kasten öffnen und herausfinden, dass der Ball in Blau ist, wissen wir, dass auch der andere Ball blau ist. Daher sind sie korreliert. Die Unsicherheit, die wir beim Öffnen der Box haben, ist jedoch aufgrund unseres Mangels an Wissen nicht grundlegend. Der Ball war blau, bevor wir die Box geöffnet haben. Dies ist also eine klassische Korrelation, keine Quantenkorrelation.

Der gemischte Quantenzustand des Systems, das durch die beiden Boxen $\rho_{boxen}$ gebildet wird, kann wie folgt geschrieben werden:

$$\rho_{boxen}=\frac{{1}{2} (\ket{rot}}\bra{_{A}\otimes\ket{rot}\bra{}_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{Blaublau}\bra{}_A\ket{\otimes Blau}\bra{}_B)$$

Beachten Sie, dass der Zustand $\rho_{boxen}$ separierbar ist, wobei $p_1 = p_2 =\frac{1}{2}$ dann nur klassische Korrelationen enthält. Ein weiteres Beispiel für einen gemischten trennbaren Zustand ist

$$\rho =\frac{{1}{2} (\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A{1}\otimes\ket{{1}\bra{ _B)$$

Betrachten Sie nun den folgenden Zustand:

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + + \ket{11}\bra{00}{11}\bra{\ket{\ket{{11}{00}\bra{11} ) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

In diesem Fall ist unser Wissen über den Zustand perfekt, wir wissen mit maximaler Sicherheit, dass das System $AB im Bell-Zustand $\ket{\phi^+}$ und $\rho$ ist ein reiner$ Zustand. Daher gibt es keine klassischen Korrelationen. Aber wenn wir ein observierbares Teilsystem $A$ messen, erhalten wir ein zufälliges Ergebnis, das uns Informationen über den Zustand des Subsystems $B$ liefert. Diese Zufallszahl ist grundlegend, nämlich dies sind Quantenkorrelationen.

Ein Beispiel für einen Quantenzustand, der sowohl klassische als auch Quantenkorrelationen enthält, ist

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Hinweis

Ein separierbarer Zustand enthält nur klassische Korrelationen.

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