Sending, receiving, and organizing email in Outlook.com
Entiendo lo que intentas hacer y tiene sentido.
El problema es que tu cuenta de Microsoft se creó con una dirección de Gmail, y Microsoft no permite cambiarla directamente por una dirección de Hotmail.
Por eso estás teniendo problemas al usar Outlook.
La forma más sencilla de solucionarlo sin perder nada es agregar un alias de Hotmail a tu cuenta actual y luego configurarlo como tu inicio de sesión principal.
Puedes hacerlo en la configuración de tu cuenta agregando la dirección Hotmail, confirmándola y después estableciéndola como principal.
Así conservarás todos tus correos, archivos y el número de teléfono vinculado, pero podrás iniciar sesión con Hotmail en lugar de Gmail.
¿Ya agregaste el alias de Hotmail o todavía aparece Gmail como tu inicio de sesión principal?
Saludos, Aron