Hola,
entré al hilo porque a pesar que nada tenga que ver con Windows (como Ud bien comento) pero es un tema interesante.
Aclaro que no tengo ninguna solución y a pesar de que armo equipos desde hace mas d 3 décadas, no tengo la experiencia necesaria en este tema especifico.
Cualquier opinión que pueda dar es basada en la nada misma, pero si vamos desmenuzando cada parte (juntos) quizás podamos encontrar cual es el problema.
En primera instancia tengo mas preguntas que respuestas.
Por ejemplo:
Que Revisión es la placa base? (ya que según el fabricante tiene varias) 
GA-H81M-H (rev. 1.0) Especificación | Tarjetas Madre - GIGABYTE Argentina
Si bien no hay mucho por encontrar en la pagina, al menos tiene la BIOS actualizada a la ultima publicada?
(antes de descargar la BIOS controle que sea la REV correcta ya que hay al menos 3 diferentes)
GA-H81M-H (rev. 1.0) Soporte y Descargas | Tarjetas Madre - GIGABYTE Argentina
Cuanta memoria RAM tiene instalada? (que marca y de que velocidad) (no creo que influya, pero es un dato mas)
Si Bien la placa base tiene PCIe x16 2da GEN y la placa de video en cuestión es de 3ra GEN, se supone que no debería ser problema (se supone)
GA-H81M-H (rev. 1.0) Especificación | Tarjetas Madre - GIGABYTE Argentina EVGA - LATAM - Artículos - EVGA GTX 1650 GDDR6

La Fuente de 700 W y según las especificaciones de NVIDIA esta mas que sobrada.
B700H Especificación | Fuentes de Poder - GIGABYTE Argentina Compara las Series Actuales y Anteriores de Tarjetas Gráficas GeForce | NVIDIA

Ud comenta que la placa la probó en un equipo y funciono pero al probarla en otro pc con el mismo chipset H81 tampoco funcionó (al menos es lo que entendí, corríjame si no es así)
Si fuese mi equipo, las pruebas las haría sin ningún disco conectado (para no comprometer o dañar algo), ya que (según entendí) de movida
ni la placa base la reconoce (corríjame si me equivoco)
Con semejante fuente modular no creo se haya confundido al conectar los cables de 8 pines

Al encender el equipo funcionan al menos los ventiladores de la placa de video?
Al encender da algún signo de vida, aunque mas no sea un parpadeo en la pantalla?
Suponiendo que los ventiladores funcionen intento en distintos puertos (HDMI 2.0b, and DisplayPort 1.4) y distintos cables?
Pregunta repetida, estando la placa conectada y los ventiladores funcionando, conectó la entrada de video al conector de salida de la placa base para poder entrar a la BIOS y ver si la reconocía? (cual fue el resultado)
mb_manual_ga-h81m-h_v1.1_e.pdf (gigabyte.com)
Estando en la BIOS :
Miscellaneous Settings
PCIe Slot Configuration
Allows you to set the operation mode of the PCI Express slots to Gen 1 or Gen 2. Actual operation mode is
subject to the hardware specification of each slot. Auto lets the BIOS automatically configure this setting.
(Default: Auto)
la configuración esta en Auto?, intento cambiando los parámetros a GEN2?
Initial Display Output
Specifies the first initiation of the monitor display from the installed PCI Express graphics card or the onboard
graphics.
IGFX Sets the onboard graphics as the first display.
PCIe 1 Slot Sets the graphics card on the PCIEX16 slot as the first display. (Default)
Intentó cambiar el inicio de las dos ultimas configuraciones para obligar a la BIOS que inicie desde el PCIe
Intel Processor Graphics
Enables or disables the onboard graphics function. (Default: Enabled)
Intentó poner el Disables el Procesador grafico?
Intel Processor Graphics Memory Allocation
Allows you to set the onboard graphics memory size. Options are: 32M~1024M. (Default: 64M)
Supongo que esta opcion no afecta y tendría que liberar la memoria, al menos pruebe en bajarla a 32M
(siempre en el supuesto de que esta detectando la placa EVGA)
y como manotazo de ahogado...
intentó resetear la BIOS (apagando el equipo, desconectándolo de la corriente eléctrica y sacando la pila por unos cuantos minutos)
Quedo atento a su respuesta