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Vectores y matrices en la computación cuántica

Cierta familiaridad con el álgebra lineal es esencial para comprender la computación cuántica. En este artículo se presentan los conceptos básicos del álgebra lineal y cómo trabajar con vectores y matrices en la computación cuántica.

Vectores

Un vector de columna, o abreviadamente vector, $v$ de dimensión (o tamaño) $n$ es una colección de $n$ números complejos $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ organizados como una columna:

$$v=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

La norma de un vector \( v \) se define como \(_i v_i^2\). Un vector se denomina vector de unidad si su norma es $1$.

El adjunto de un vector $v$ es un vector de fila que se indica como $v^\dagger$ y se define como la transposición conjugada de $v$. Para un vector de columna $v$ de dimensión $n$, el adjunto es un vector de fila de dimensión $1 \times n$:

$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$

donde $v_i^*$ denota el conjugado complejo de $v_i$.

Con el álgebra lineal, el estado de un cúbit $\psi= un \ket{0} + b \ket{1}$ se describe como un vector de estado cuántico $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, donde $|un|^2 + |b|^2 = 1$. Para obtener más información, consulte El cúbit.

Producto escalar

Dos vectores se pueden multiplicar con el producto escalar, también conocido como producto interior. Como indica el nombre, el resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar. El producto escalar proporciona la proyección de un vector a otro y se usa para expresar un vector como una suma de otros vectores más sencillos. El producto escalar entre dos vectores columna $u$ y $v$ se denota como $\langle u, v\rangle= u^\dagger v $ y se define como

$ \langle u, v\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots& u_n^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}= u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n. $$

Con el producto escalar, la norma de un vector $v$ se puede escribir como $\sqrt{\langlev, v\rangle}$.

Puede multiplicar un vector por un número $a$ para formar un nuevo vector cuyas entradas se multiplican por $a$. También se pueden sumar dos vectores $u$ y $v$ para formar un nuevo vector cuyas entradas son la suma de las entradas $u$ y $v$. Estas son las operaciones siguientes:

$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$

Matrices

Una matriz de tamaño $m \times n$ es una colección de $m\cdot n$ números complejos organizados en $m$ filas y $n$ columnas, como se muestra a continuación:

$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$

Nota:

Tenga en cuenta que un vector de dimensión $n$ es simplemente una matriz de tamaño $n \times 1$.

Las operaciones cuánticas se representan mediante matrices cuadradas, es decir, el número de filas y columnas es igual. Por ejemplo, las operaciones de un solo cúbit se representan mediante matrices $2 \times 2$, como las matrices de Pauli $X$

$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Sugerencia

En Q#, la operación Pauli $X$ se representa mediante la X operación.

Al igual que con los vectores, puede multiplicar una matriz con un número $c$ para obtener una nueva matriz donde cada entrada se multiplica con $c$ y se pueden agregar dos matrices del mismo tamaño para generar una nueva matriz cuyas entradas son la suma de las entradas respectivas de las dos matrices.

Multiplicación de matrices

También puede multiplicar una matriz $M$ de $m \times n$ y una matriz $N$ de dimensión $n \times p$ para obtener una nueva matriz $P$ de dimensión $m \times$ de la siguiente manera:

$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$

donde las entradas de $P$ son $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Por ejemplo, la entrada $P_{11}$ es el producto escalar de la primera fila de $M$ con la primera columna de $N$. Tenga en cuenta que, dado que un vector es simplemente un caso especial de una matriz, esta definición se extiende a la multiplicación matriz-vector.

Tipos especiales de matrices

Una matriz cuadrada especial es la matriz de identidad, denotada $\mathbb{\mathbb{I}$, que tiene todos sus elementos diagonales iguales a $1$ y los elementos restantes iguales a $0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

Para una matriz cuadrada $A$, una matriz $B$ es su inversa si $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Si una matriz $A$ tiene un inverso, la matriz inversa es única y se escribe como $A^{-1}$.

Para cualquier matriz $M$, la transposición contigua o conjugada de $M$ es una matriz $N$, tal como $N_{ij}= M_{ji}^*$. El elemento contiguo de $M$ se indica como $M^\dagger$.

Una matriz $U$ es unitaria si $UU^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ o de forma equivalente, $U^{{-1}= U^\dagger$. Una propiedad importante de las matrices unitarias es que conservan la norma de un vector. Esto ocurre porque

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Nota:

Las operaciones cuánticas se representan mediante matrices unitarias, que son matrices cuadradas cuyo adyacente es igual a su inversa.

Una matriz $M$ se denomina Hermitiana si $M=M^{\dagger}$.

En la computación cuántica, básicamente solo se encuentran dos matrices: hermítica y unitaria.

Producto tensorial

Otra operación importante es el producto tensor, también llamado producto directo de matrices o producto de Kronecker.

Considere los dos vectores $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ y $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Su producto tensorial se indica como $v \otimes u$, y da como resultado una matriz de bloques.

$$\begin{bmatrix}\\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b \end{bmatrix}$$

Nota:

Tenga en cuenta que el producto tensor se distingue de la multiplicación de matriz, que es una operación completamente diferente.

El producto tensor se usa para representar el estado combinado de varios cúbits. La eficacia real de la computación cuántica proviene del aprovechamiento de varios cúbits para realizar cálculos. Para más detalles, consulte Operaciones en varios cúbits.

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