Representación de punto flotante de IEEE
Microsoft C++ (MSVC) es coherente con los estándares numéricos IEEE. El estándar IEEE-754 describe los formatos de punto flotante, una manera de representar números reales en el hardware. Hay al menos cinco formatos internos para los números de punto flotante que se pueden representar en el hardware de destino del compilador de MSVC. El compilador solo usa dos de ellos. Los formatos de precisión sencilla (4 bytes) y de precisión doble (8 bytes) se usan en MSVC. La precisión sencilla se declara mediante la palabra clave float. La precisión doble se declara mediante la palabra clave double. El estándar IEEE también especifica formatos de precisión media (2 bytes) y de precisión cuádruple (16 bytes), así como un formato de precisión doble extendida (10 bytes), que algunos compiladores de C y C++ implementan como el tipo de datos long double. En el compilador de MSVC, el tipo de datos long double se trata como un tipo distinto, pero el tipo de almacenamiento se asigna a double. Sin embargo, hay compatibilidad intrínseca y de lenguaje de ensamblado con los cálculos que usan los otros formatos, incluido el formato de precisión doble extendida, si es compatible con el hardware.
Los valores se almacenan de la siguiente manera:
| Valor | Almacenado como |
|---|---|
| precisión sencilla | bit de signo, exponente de 8 bits, significando de 23 bits |
| precisión doble | bit de signo, exponente de 11 bits, significando de 52 bits |
En los formatos de precisión sencilla y de doble precisión, se presupone un 1 inicial en la parte fraccionaria. La parte fraccionaria se conoce como significando (a veces conocido como mantisa). Este 1 inicial no se almacena en memoria, por lo que los significandos son en realidad de 24 o 53 bits, aunque se almacena un bit menos. El formato de precisión doble extendida sí almacena este bit.
Los exponentes se sesgan por la mitad de su valor posible. Esto significa que debe restar esta diferencia del exponente almacenado para obtener el exponente real. Si el exponente almacenado es menor que la diferencia, se trata de un exponente negativo.
Los exponentes se sesgan de la siguiente manera:
| Exponente | Sesgado por |
|---|---|
| 8 bits (precisión sencilla) | 127 |
| 11 bits (precisión doble) | 1023 |
Estos exponentes no son potencias de diez, son potencias de dos. Es decir, los exponentes almacenados de 8 bits pueden oscilar entre -127 y 127, almacenados como de 0 a 254. El valor 2127 es aproximadamente equivalente a 1038, que es el límite real de la precisión sencilla.
El significando se almacena como una fracción binaria con el formato "1.XXX…". Esta fracción tiene un valor igual o mayor que 1 y menor que 2. Los números reales se almacenan siempre en formato normalizado. Es decir, el significando se desplaza a la izquierda de modo que el bit de orden superior de la mantisa sea siempre 1. Dado que este bit siempre es 1, se da por supuesto (no se almacena) en los formatos de precisión sencilla y de precisión doble. Se da por supuesto que el punto binario (no decimal) está justo a la derecha del 1 inicial.
El formato de la representación de punto flotante es el siguiente:
| Formato | byte 1 | byte 2 | byte 3 | byte 4 | ... | byte n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| precisión sencilla | SXXXXXXX |
XMMMMMMM |
MMMMMMMM |
MMMMMMMM |
||
| precisión doble | SXXXXXXX |
XXXXMMMM |
MMMMMMMM |
MMMMMMMM |
... | MMMMMMMM |
S representa el bit de signo, las X son los bits del exponente sesgado y las M son los bits del significando. El bit más a la izquierda se presupone en los formatos de precisión sencilla y de precisión doble.
Para desplazar el punto binario correctamente, primero debe quitar el sesgo del exponente y, a continuación, mover el punto binario a la derecha o a la izquierda el número de bits adecuado.
Valores especiales
Los formatos de punto flotante incluyen algunos valores que se tratan de forma especial.
Cero
No se puede normalizar "cero", lo que hace que no se pueda representar en el formato normalizado de un valor de precisión simple o de precisión doble. Un patrón de bits especial de todo ceros representa 0. También es posible representar -0 como cero con el conjunto de bits de signo, pero -0 y 0 siempre se comparan como iguales.
Infinitos
Los valores +∞ y −∞ están representados por un exponente de todo unos y un significando de todo ceros. Los números positivos y negativos se representan mediante el bit de signo.
Números no normales
Es posible representar números de magnitud menor que el número más pequeño en formato normalizado. Estos números se conocen como números no normales o desnormalizados. Si los valores del exponente son todo ceros y el significando es distinto de cero, se considera que el bit inicial implícito del significando es cero, no uno. La precisión de los números desnormalizados disminuye a medida que aumenta el número de ceros iniciales en el significando.
NaN (no es un número)
Es posible representar valores que no son un número real, como 0/0, en el formato de punto flotante de IEEE. Un valor de este tipo se denomina NaN. Un valor NaN se representa mediante un exponente de todo unos y un significando distinto de cero. Hay dos tipos de valores NaN: simples (o QNaN) y de señalización (o SNaN). Los NaN simples tienen un 1 inicial en el significando y se propagan a través de una expresión. Representan un valor indeterminado, como el resultado de la división por infinito o la multiplicación de un infinito por cero. Los NaN de señalización tienen un cero inicial en el significando. Se usan en operaciones que no son válidas para señalar una excepción de hardware de punto flotante.
Ejemplos
A continuación, se muestran algunos ejemplos del formato de precisión sencilla:
Para el valor 2, el bit de signo es cero. El exponente almacenado es 128, o 1000 0000 en binario, que es 127 más 1. El significado binario almacenado es (1.) 000 000 000 0000 0000 0000 0000, que tiene un punto 1 y binario implícito, por lo que el significado real es uno.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 2 1 * 21 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0x40000000 El valor -2. Es igual que +2, excepto que se establece el bit de signo. Lo mismo se aplica a todos los números de punto flotante con formato IEEE negativo.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal -2 -1 * 21 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0xC0000000 El valor 4. Es el mismo significando, pero el exponente aumenta en uno (el valor sesgado es 129 o 100 0000 1 en binario).
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 4 1 * 22 0100 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0x40800000 El valor 6. Presenta el mismo exponente, pero el significando es una mitad mayor. Es (1.) 100 0000 ... 0000 0000, que, como es una fracción binaria, es 1 1/2 porque los valores de los dígitos fraccionarios son 1/2, 1/4, 1/8, etc.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 6 1.5 * 22 0100 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0x40C00000 El valor 1. Tiene el mismo significando que otras potencias de dos, pero el exponente sesgado es uno menos de dos en 127, o 011 1111 1 en binario.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 1 1 * 20 0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0x3F800000 El valor 0,75. El exponente sesgado es 126, 011 1111 0 en binario, y el significado es (1.) 100 0000 ... 0000 0000, que es 1 1/2.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 0,75 1.5 * 2-1 0011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0x3F400000 El valor 2,5. Es exactamente igual que dos, salvo que el bit que representa 1/4 se establece en el significando.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 2.5 1.25 * 21 0100 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0x40200000 1/10 es una fracción repetida en formato binario. El significando es un poco menor que 1,6 y el exponente sesgado indica que 1,6 se divide entre 16. (Es 011 1101 1 en binario, que es 123 en decimal). El exponente verdadero es 123 - 127 = -4, lo que significa que el factor por el que se va a multiplicar es 2-4 = 1/16. El significando almacenado se redondea en el último bit en un intento de representar el número no representable de la manera más precisa posible. (La razón de que 1/10 y 1/100 no se puedan representar de forma exacta en formato binario es similar a la razón de que tampoco se pueda representar 1/3 de forma exacta en formato decimal).
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 0,1 1.6 * 2-4 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 1101 0x3DCCCCCD El cero es un caso especial, donde se usa la fórmula para el mínimo valor positivo representable posible, que es todo ceros.
Valor Fórmula Representación binaria Hexadecimal 0 1 * 2-128 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0x00000000