Opérations sur plusieurs qubits

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Cet article passe en revue les règles utilisées pour générer des états multiqubits à partir d’états à qubit unique. En outre, il présente les opérations de porte qui doivent être incluses dans un ensemble de portes pour créer un ordinateur quantique multiqubit universel. Ces outils sont nécessaires pour comprendre les jeux de portes couramment utilisés dans le Q# code. Ils sont également importants pour obtenir une intuition sur la raison pour laquelle les effets quantiques tels que l’intrication ou l’interférence rendent l’informatique quantique plus puissante que l’informatique classique.

Portes à qubit unique et portes multiqubits

La véritable puissance de l’informatique quantique ne devient évidente qu’à mesure que vous augmentez le nombre de qubits. Les qubits uniques possèdent des fonctionnalités contre-intuitives, telles que la possibilité d’être dans plusieurs états à un moment donné. Cependant, si tout ce que vous aviez dans un ordinateur quantique était des portes à qubit unique, alors une calculatrice et certainement un superordinateur classique éclipserait sa puissance de calcul.

La puissance de l’informatique quantique réside en partie dans le fait que la dimension de l’espace vectoriel des vecteurs d’état quantique augmente de façon exponentielle avec le nombre de qubits. Cela signifie que si un seul qubit peut être modélisé très simplement, la simulation d’un calcul quantique à 50 qubits dépassera sans doute les limites des superordinateurs existants. L’augmentation de la taille du calcul d’un seul qubit supplémentaire double la mémoire nécessaire pour stocker l’état et le temps de calcul. Ce doublement rapide de la puissance de calcul est la raison pour laquelle un ordinateur quantique avec un nombre relativement faible de qubits peut largement dépasser les plus puissants des superordinateurs d’aujourd’hui, de demain, et même au-delà, pour certaines tâches de calcul.

États à deux qubits

Si vous recevez deux qubits distincts, l’un dans l’état $\psi=\begin{bmatrix}\end{bmatrix}$\\\beta\alphaet l’autre dans l’état $\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\gamma\end{bmatrix}$, l’état à deux qubits correspondant est donné par le produit tensoriel (ou produit Kronecker) des vecteurs, qui est défini comme suit

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\\\beta\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\gamma\\\alpha\delta\\\beta\gamma\\\beta\delta\end{bmatrix}. $$

Par conséquent, étant donné les deux états à qubit unique $\psi$ et $\phi$, chacun ayant 2 dimensions, l’état correspondant des deux qubits $\psi\otimes\phi$ aura 4 dimensions. Le vecteur

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

représente un état quantique sur deux qubits si

$$|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{{10}|^2+|\alpha_{{11}|^2=1.$$

Plus généralement, vous pouvez voir que l’état quantique de $n$ qubits est représenté par un vecteur d’unité $v_1 \otimes v_2 \otimes\cdots\otimes v_n$ de dimension $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots= 2^n$ en utilisant cette construction. Comme avec les qubits uniques, le vecteur d’état quantique à plusieurs qubits contient toutes les informations nécessaires pour décrire le comportement du système. Pour plus d’informations sur les vecteurs et les produits tensoriels, consultez Vecteurs et matrices en informatique quantique.

La base de calcul pour les états à deux qubits est formée par les produits tensoriels des états de base à un qubit. Par exemple, vous avez

\begin{align}00 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}& ;=\begin{bmatrix}1 0 0 0 , 01 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}0 \\ 1=\begin{bmatrix}\end{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\\ 10 \equiv\begin{bmatrix}0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}& ;\begin{bmatrix}=\qquad\end{bmatrix}\\\\\\0 0 1 0 , 11\begin{bmatrix}\equiv 0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 0\\ 0\\ 1 .\end{bmatrix}\qquad\end{bmatrix}\\\\\\ \end{align}

Notez que bien que vous puissiez toujours utiliser le produit tensoriel de deux états à qubit unique pour former un état à deux qubits, tous les états quantiques à deux qubits ne peuvent pas être écrits en tant que produit tensoriel de deux états à qubit unique. Par exemple, il n’y a pas d’états $\psi=\begin{bmatrix}\alpha\beta\end{bmatrix}$\\et\gamma$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\end{bmatrix}$ de sorte que leur produit tensoriel est l’état

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix} 1/\sqrt{{2}\\ 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt{{2}\end{bmatrix}.$$

Ce type d’état à deux qubits, qui ne peut pas être écrit comme le produit tensoriel d’états monoqubits, est appelé « état intriqué ». Les deux qubits sont dits intriqués. Pour résumer, étant donné que l’état quantique ne peut pas être considéré comme un produit tensoriel d’états à qubit unique, les informations que l’état contient ne sont pas limitées à l’un ou l’autre des qubits. Au lieu de cela, les informations sont stockées non localement, dans les corrélations qui existent entre les deux états. Cette non-localité d’informations est l’une des principales caractéristiques de l’informatique quantique par rapport à l’informatique classique et est essentielle pour un certain nombre de protocoles quantiques, y compris la correction des erreurs quantiques.

Mesure des états à deux qubits

La mesure d’états à deux qubits est très similaire à celle des états à qubit unique. Mesure de l’état

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

génère $00$ avec probabilité $|\alpha_{00}|{^2$, $01$ avec probabilité $|\alpha_{01}|^2$, $10$ avec probabilité $|\alpha_{{10}|^2$ et $11$ avec probabilité $|\alpha_{11}|^2.$ Les variables $\alpha_{00}, \alpha_{{01}, \alpha_{{10},$ et $\alpha_{11}$ ont été délibérément nommées pour clarifier cette connexion. Après la mesure, si le résultat est $00$, l’état quantique du système à deux qubits s’est réduit et est maintenant

$$ 00 \equiv\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

Il est également possible de mesurer un seul qubit d’un état quantique à deux qubits. Lorsque vous ne mesurez qu’un seul qubit d’un état à deux qubits, l’impact de la mesure est subtilement différent de la mesure de deux qubits. Cela est dû au fait que l’état entier n’est pas réduit à un état de base de calcul, mais à un seul sous-système. En d’autres termes, la mesure d’un qubit d’un état à deux qubits réduit uniquement le sous-système associé à un état de base de calcul.

Pour cela, envisagez de mesurer le premier qubit de l’état suivant, qui est formé en appliquant la transformation $Hadamard H$ sur deux qubits initialement définis sur le " ; 0" ; état :

$$H^{\otimes 2\left}( \begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right){1}{2}\begin{bmatrix}=\frac{ 1 & ; 1 & ; 1 amp ; 1 &\\ amp& ; -1 amp ; 1 && ; -1 \\ 1 amp ; 1 && ; -1 amp ; -1 \\&& ; -1 amp ; -1 & ; -1 & ; 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\=\end{bmatrix}\frac{{1}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\mapsto\begin{cases}\text{résultat }=0 & ; \frac{{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\text{résultat }=1 & ; \frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\\\end{cases}. $$ Les deux résultats ont une probabilité de 50 % de se produire. Cela peut être déduit du fait que l’état quantique avant la mesure ne change pas si $0$ est échangé avec $1$ sur le premier qubit.

La règle mathématique pour mesurer le premier ou le deuxième qubit est simple. Laissez e_k être le $vecteur de base de calcul k^{\rm et}$$S$ être l’ensemble de tous les $e_k$ de sorte que le qubit en question prenne la valeur $1$ pour cette valeur de $k$.$$ Par exemple, si vous souhaitez mesurer le premier qubit $, S$ se compose de $e_1\equiv 10$ et $e_3\equiv 11$. De même, si vous êtes intéressé par le deuxième qubit $S$ se compose de $e_2\equiv 01$ et $e_3 \equiv 11$. Ensuite, la probabilité de mesurer le qubit choisi pour être $1$ est pour le vecteur d’état $\psi$

$$ P(\text{résultat}=1)=\sum_{e_k \text{ dans l’ensemble } S}\psi^\dagger e_k e_k^\dagger\psi. $$

Notes

Cet article utilise le format little-endian pour étiqueter la base de calcul. Avec le format Little Endian, ce sont les bits les moins significatifs qui sont placés en premier. Par exemple, au format Little Endian, le chiffre 4 est représenté par la chaîne de bits 001.

Étant donné que chaque mesure de qubit ne peut générer que $0$ ou $1$, la probabilité pour que la mesure soit $0$ est simplement $1-P(\text{résultat}=1)$. C’est pourquoi vous n’avez besoin que d’une formule pour la probabilité de mesurer $1$.

L’effet qu’une telle mesure a sur l’état peut être exprimé de façon mathématique sous la forme suivante

$$\psi\mapsto\frac{\sum_{e_k \text{ dans l’ensemble } S} e_k e_k^\dagger\psi}{\sqrt{P(\text{résultat}=1)}}. $$

Le lecteur prudent peut s’inquiéter de ce qui se passe si le dénominateur est égal à zéro. Bien qu’un tel état ne soit pas défini, vous n’avez pas à vous soucier de telles éventualités, car la probabilité est nulle !

Si vous prenez $\psi$ pour être le vecteur d’état uniforme donné ci-dessus et que vous êtes intéressé à mesurer le premier qubit, alors

$$ P(\text{mesure du premier qubit}=1) = (\psi^\dagger e_1)(e_1^\dagger\psi)+(\psi^\dagger e_3)(e_3^\dagger\psi)=|e_1^\dagger\psi|^2+|e_3^\dagger\psi|^2. $$

Notez qu’il s’agit simplement de la somme des deux probabilités attendues pour mesurer les résultats $10$ et $11$. Pour notre exemple, cela revient à

$$\frac{{1}{4}\left|\begin{bmatrix}0& ; 0& ; 1& ; 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\right|^2+\frac{1}{{4}\left|\begin{bmatrix}0& ; 0& ; 0& ; 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\right|^2=\frac{{1}{{2}. $$

qui correspond parfaitement à notre intuition. De même, l’état après le premier qubit est mesuré comme $1$ peut être écrit en tant que

$$\frac{\frac{e_1}{2}+\frac{e_3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$$

là encore, conformément à notre intuition.

Opérations à deux qubits

Comme avec les qubits uniques, toute transformation unitaire est une opération valide sur les qubits. En général, une transformation unitaire sur $n$ qubits est une matrice $U$ de taille $2^n \times 2^n$ (elle agit donc sur les vecteurs de taille $2^n$), de sorte que $U^{-1}= U^\dagger$. Par exemple, la porte CNOT (controlled-NOT) est une porte à deux qubits couramment utilisée, qui est représentée par la matrice unitaire suivante :

$$\operatorname{CNOT}=\begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\ 0 \\ 0\ 1\ 0\ 0 \\ 0\ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 0\ 1\ 0 \end{bmatrix}$$

Nous pouvons également former des portes à deux qubits en appliquant des portes à qubit unique sur les deux qubits. Par exemple, si vous appliquez les portes

$$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}$$

et

$$\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}$$

aux premier et deuxième qubits, respectivement, cela revient à appliquer l’unité à deux qubits donné par leur produit tensoriel : $$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}$$

Ainsi, vous pouvez former des portes à deux qubits en prenant le produit tensoriel de certaines portes à qubits uniques connues. Voici quelques exemples de portes à deux qubits : $H \otimes H$, $X \otimes\mathbf{1}$ et $X \otimes Z$.

Notez que si deux portes à qubit unique définissent une porte à deux qubits en prenant leur produit tensoriel, l’inverse n’est pas vrai. Les portes à deux qubits ne peuvent pas être écrites en tant que produit tensoriel de portes à qubit unique. Les portes de ce type se nomment portes d’intrication. Un exemple de porte d’intrication est la porte CNOT.

L’intuition associée à une porte controlled-not peut être généralisée aux portes arbitraires. Une porte contrôlée en général est une porte qui joue le rôle d’identité, sauf si un qubit spécifique est $1$. Vous désignez un unitaire contrôlé, contrôlé dans ce cas sur le qubit étiqueté $x$, avec un $\Lambda_x(U).$ Par exemple$\Lambda, _0(U) e_{1}\otimes{{\psi}=e_{1}\otimes U{\psi}$ et$\Lambda _0(U) e_{{0}\otimes{\psi}=e_{0}\otimes{\psi}${, où $e_0$ et $e_1$ sont les vecteurs de base de calcul d’un qubit unique correspondant aux valeurs $0$ et $1.$ Par exemple, considérez la porte controlled-Z$$ suivante, puis vous pouvez exprimer cela comme

$$\Lambda_0(Z)=\begin{bmatrix}1& ; 0& ; 0& ; 0\\0& ; 1& ; 0& ; 0\\0& ; 0& ; 1& ; 0\\0& ; 0& ; 0& ;-1 \end{bmatrix}=(\mathbf\mathbf{1}\otimes{ H)\operatorname{CNOT}(\mathbf{1}\otimes H). $$

La création d’unités contrôlées de manière efficace est un défi majeur. La façon la plus simple d’implémenter cela consiste à former une base de données comprenant les versions contrôlées des portes fondamentales, puis à remplacer chaque porte fondamentale dans l’opération d’origine par son équivalent contrôlé. Cela dit, cela constitue souvent un gaspillage. Vous pourriez donc vous servir d’insights pour remplacer quelques portes par leurs versions contrôlées afin d’obtenir le même impact. Pour cette raison, l’infrastructure offre la possibilité d’effectuer la méthode naïve de contrôle ou de permettre à l’utilisateur de définir une version contrôlée de l’unitaire si une version optimisée à réglage manuel est connue.

Les portes peuvent également être contrôlées à l’aide d’informations classiques. Les portes classiquement controlled-not sont les portes NOT qui sont appliquées uniquement si un bit classique est $1$ contrairement à un bit quantique. Dans ce sens, une porte contrôlée classiquement peut être considérée comme une instruction if dans le code quantique, où la porte est appliquée uniquement dans une branche du code.

Comme dans le cas d’un qubit unique, un ensemble de portes à deux qubits est universel si une matrice unitaire $4\times 4$ peut être approchée par un produit de portes issues de cet ensemble avec une précision arbitraire. Un exemple d’ensemble de portes universel est constitué de la porte Hadarmard, de la porte T et de la porte CNOT. En prenant des produits de ces portes, vous pouvez vous rapprocher de n’importe quelle matrice unitaire sur deux qubits.

Intrication quantique

Considérez deux qubits $A$ et $B$ dans des superpositions de telle sorte que l’état du système global soit

$$\ket{\psi}_{AB}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$

Dans ce type d'état, seuls deux résultats sont possibles lorsque vous mesurez l'état des deux qubits sur la base standard : $|00\rangle$ et $|11\rangle$. Notez que chaque résultat a la même probabilité de $\frac{1}{2}$. Il n’y a aucune probabilité d’obtenir $|01\rangle$ et $|10\rangle$. Si vous mesurez le premier qubit et que vous obtenez qu’il est à $|l’état 0\rangle$ , vous pouvez être sûr que le deuxième qubit est également à $|l’état 0\rangle$ , même sans le mesurer. Les résultats des mesures sont corrélés, et les qubits sont enchevêtrés.

Notes

Cet exemple utilise deux qubits, mais l’intrication quantique n’est pas limitée à deux qubits. En général, il est possible que les systèmes à qubits multiples partagent l’intrication.

Les qubits enchevêtrés sont corrélés de sorte qu’ils ne peuvent pas être décrits indépendamment les uns des autres. Autrement dit, quelle que soit l’opération qui arrive à l’état d’un qubit dans une paire enchevêtrée, affecte également l’état de l’autre qubit.

Pour une implémentation pratique, consultez le tutoriel sur l’exploration de l’intrication quantique avec Q# et Azure Quantum.

Intrication dans des états purs

Les états quantiques purs sont ceux qui sont caractérisés par un seul vecteur ket ou wavefunction et ne peuvent pas être écrits en tant que mélange statistique (ou combinaison convexe) d’autres étast quantiques. Sur la sphère de Bloch, les états purs sont représentés par un point à la surface de la sphère, tandis que les états mixtes sont représentés par un point intérieur.

Un état $\ket{\phi}pur _{AB}$ est enchevêtré s’il ne peut pas être écrit comme une combinaison d’états de produit des sous-systèmes, c’est-à-dire $\ket{\phi}_{AB}=\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$

Par exemple, considérez l’état \ket{\psi}$$_{AB}{1}{2}=\frac{ ({00}\ket{ + \ket{{10} +\ket{01} +)\ket{{11}$$

Au début, l’état $\ket{\psi}_{AB}$ ne ressemble pas à un état de produit, mais si nous réécrirons l’état en tant que

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

l’état $\ket{\psi}_{AB}$ étant un état de produit, il n’est pas enchevêtré.

Intrication dans des états mixtes

Les états quantiques mixtes sont un ensemble statistique d’états purs. Un état $mixte \rho$ n’a ni corrélations quantiques ni classiques s’il peut être écrit en tant qu’état $produit \rho = \rho^{A}\otimes \rho^{B}$ pour certaines matrices$ de densité\rho^{A\geq} 0 , \rho^{B}\geq 0.$

Un \rho$ d’état $mixte est séparable s’il peut être écrit comme une combinaison convexe d’états de produit des sous-systèmes, comme

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_{j}\otimes \rho^{B}_{j}$$

où $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ et $\rho^{A}_{j}\geq 0, \rho^{B}_{j}\geq 0$.

Un \rho$ d’état $mixte est enchevêtré s’il n’est pas séparable, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être écrit comme une combinaison convexe d’états de produit.

Conseil

Un état séparable contient uniquement des corrélations classiques.

Présentation des corrélations classiques

Les corrélations classiques sont dues à notre manque de connaissance de l’état du système. Autrement dit, il y a un certain caractère aléatoire associé à la corrélation classique, mais il peut être éliminé en acquérant des connaissances.

Par exemple, considérez deux boîtes, chacune contenant une boule. Nous savons que les deux boules sont de la même couleur, bleu ou rouge. Si nous ouvrons une boîte et que nous découvrons que la balle à l’intérieur est bleue, alors nous savons que l’autre boule est bleue aussi. Par conséquent, ils sont corrélés. Cependant, l’incertitude que nous avons lors de l’ouverture de la boîte est due à notre manque de connaissances, ce n’est pas fondamental. La balle était bleue avant d’ouvrir la boîte. Il s’agit donc d’une corrélation classique, et non d’une corrélation quantique.

L’état quantique mixte du système formé par les deux zones $\rho_{boxes}$ peut être écrit en tant que

$$\rho_{boxes}\frac{{1}{2}= (\ket{rouge}\bra{rouge}_{A\otimes}\ket{rouge}\bra{}_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{bleu bleu}\bra{}_A\ket{\otimes bleu}\bra{}_B)$$

Notez que l’état $\rho_{boxes}$ est séparable, où $p_1 = p_2 =\frac{1}{2}$ alors il contient uniquement des corrélations classiques. Un autre exemple d’état séparable mixte est

$$\rho =\frac{{1}{2} (\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A{1}\otimes\ket{{1}\bra{ _B)$$

À présent, considérez l’état suivant :

$$\rho ={1}{4}\frac{(\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{{11}{11}\bra{) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

Dans ce cas, notre connaissance de l’état est parfaite, nous savons avec une certitude maximale que le système $AB$ est dans l’état $\ket{\phiBell ^+}$ et $\rho$ est un état pur. Par conséquent, il n’y a pas de corrélations classiques. Mais si nous mesurons une observable sur le sous-système $A$, nous obtenons un résultat aléatoire qui nous donne des informations sur l’état du sous-système $B$. Cette aléatoire est fondamentale, c’est-à-dire qu’il s’agit de corrélations quantiques.

Un exemple d’état quantique qui contient à la fois des corrélations classiques et quantiques est

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Conseil

  • Si un état $intricé \rho$ est pur, il contient uniquement des corrélations quantiques.
  • Si un état $intricé \rho$ est mixte, il contient à la fois des corrélations classiques et quantiques.

Systèmes multiqubits

Nous suivons exactement les mêmes modèles que ceux explorés dans le scénario avec deux qubits pour créer des états quantiques multiqubits à partir de systèmes plus petits. De tels états sont créés en formant les produits tensoriels d’états plus petits. Par exemple, vous pouvez encoder la chaîne de bits $1011001$ sur un ordinateur quantique. Vous pouvez l’encoder en tant que

$$ 1011001 \equiv\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. $$

Les portes quantiques fonctionnent exactement de la même façon. Par exemple, si vous souhaitez appliquer la $porte X$ au premier qubit, puis effectuer un CNOT entre le deuxième et le troisième qubits, vous pouvez exprimer cette transformation comme

\begin{\begin{align}&Ampli; (X \otimes\operatorname{CNOT}_{{12}\otimes\mathbf{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}\otimes \mathbf{\otimes\mathbf{1} \mathbf{\mathbf{1}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\\& ;\qquad\qquad\equiv 0011001. \end{align}

Dans de nombreux systèmes qubit, il est souvent nécessaire d’allouer et de libérer des qubits qui servent de mémoire temporaire à l’ordinateur quantique. Un qubit de ce type est dit auxiliaire. Par défaut, vous pouvez supposer que l’état du qubit est initialisé pour $e_0$ lors de l’allocation. Vous pouvez également supposer qu’elle est retournée à $e_0$ avant la désallocation. Cette supposition est importante, car si un qubit auxiliaire est intriqué à un autre registre qubit lorsqu’il est libéré, le processus de désallocation endommagera le qubit auxiliaire. Pour cette raison, vous supposez toujours que ces qubits sont restaurés à leur état initial avant d’être libérés.

Enfin, même si de nouvelles portes ont dû être ajoutées à notre ensemble de portes afin d’obtenir un calcul quantique universel pour deux ordinateurs quantiques à deux qubits, il n’est pas nécessaire d’ajouter des portes dans le scénario multiqubit. Les portes $H$, $T$ et CNOT forment un ensemble de portes universel sur de nombreux qubits, car toute transformation d’unité générale peut être divisée en une série de rotations à deux qubits. Vous pouvez ensuite tirer parti de la théorie développée pour le cas à deux qubits et l’utiliser à nouveau ici lorsque vous avez de nombreux qubits.

Notes

Bien que la notation algébrique linéaire utilisée jusqu’à présent puisse certainement être utilisée pour décrire des états multi-qubits, elle devient de plus en plus fastidieuse à mesure que vous augmentez la taille des états. Le vecteur de colonne résultant pour une chaîne d’une longueur de 7 bits, par exemple, a $128$ dimensions, ce qui rend très difficile l’utilisation de la notation décrite précédemment. Au lieu de cela, la notation Dirac, un raccourci symbolique qui simplifie la représentation des états quantiques, est utilisée. Pour plus d’informations, consultez Notation dirac.

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