Représentation matricielle des transformations

Mise à jour : novembre 2007

Une matrice m×n est un ensemble de nombres organisés en m lignes et n colonnes. L'illustration suivante représente plusieurs matrices.

Vous pouvez additionner deux matrices de même taille en additionnant leurs éléments. L'illustration suivante montre deux exemples d'addition de matrices.

Vous pouvez multiplier une matrice m×n par une matrice n×p ; le résultat sera une matrice m×p. Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Par exemple, si vous multipliez une matrice 4×2 par une matrice 2×3, vous obtiendrez une matrice 4×3.

Vous pouvez considérer les points dans le plan et les lignes et colonnes d'une matrice comme des vecteurs. Par exemple, (2, 5) est un vecteur à deux composants et (3, 7, 1) est un vecteur à trois composants. Le produit scalaire de deux vecteurs est défini comme suit :

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Par exemple, le produit scalaire de (2, 3) et (5, 4) est (2)(5) + (3)(4) = 22. Le produit scalaire de (2, 5, 1) et (4, 3, 1) est (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24. Notez que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre et non pas un autre vecteur. En outre, vous ne pouvez calculer le produit scalaire de deux vecteurs que s'ils ont le même nombre de composants.

Soit A(i, j) l'entrée de la matrice A située dans la ligne i et la colonne j. Par exemple, A(3, 2) est l'entrée située dans la troisième ligne et la deuxième colonne de la matrice A. Supposons que A, B et C sont des matrices et que AB = C. Les entrées de C sont calculées comme suit :

C(i, j) = (ligne i de A) • (colonne j de B)

L'illustration suivante montre plusieurs exemples de multiplication de matrices.

Si vous considérez qu'un point dans un plan est une matrice 1×2, vous pouvez transformer ce point en le multipliant par une matrice 2×2. L'illustration suivante représente plusieurs transformations appliquées au point (2, 1).

Toutes les transformations illustrées dans la figure précédente sont des transformations linéaires. Certaines transformations (notamment la translation) ne sont pas linéaires et ne peuvent pas s'exprimer sous la forme d'une multiplication par une matrice 2×2. Supposons que vous partez du point (2, 1) et lui appliquez successivement une rotation à 90 degrés, une translation de 3 unités dans la direction x et une translation de 4 unités dans la direction y. Vous pouvez utiliser une multiplication de matrices suivie d'une addition de matrices.

Une transformation linéaire (multiplication par une matrice 2×2) suivie d'une translation (addition d'une matrice 1×2) est appelée une transformation affine. Au lieu d'utiliser une paire de matrices (une pour la transformation linéaire et une autre pour la translation), vous pouvez stocker l'ensemble d'une transformation affine dans une matrice 3×3. Pour ce faire, il faut stocker un point du plan sous la forme d'une matrice 1×3 avec une troisième coordonnée factice. La technique habituelle consiste à attribuer une valeur de 1 à toutes les troisièmes coordonnées. Par exemple, le point (2, 1) est représenté par la matrice [2 1 1]. L'illustration suivante montre une transformation affine (rotation à 90 degrés, translation de 3 unités dans la direction x et de 4 unités dans la direction y) exprimée sous la forme d'une multiplication par une seule matrice 3×3.

Dans l'exemple précédent, le point (2, 1) est mappé au point (2, 6). Notez que la troisième coordonnée de la matrice 3×3 contient les nombres 0, 0, 1. Ce sera toujours le cas pour la matrice 3×3 d'une transformation affine. Les nombres importants sont les six nombres des colonnes 1 et 2. La partie 2×2 supérieure gauche de la matrice représente la partie linéaire de la transformation, et les deux premières entrées de la troisième ligne représentent la translation.

Dans GDI+, vous pouvez stocker une transformation affine dans un objet Matrix. Comme la troisième colonne d'une matrice représentant une transformation affine contient toujours (0, 0, 1), vous spécifiez uniquement les six nombres des deux premières colonnes lorsque vous construisez un objet Matrix. L'instruction Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) construit la matrice illustrée par la figure précédente.

Transformations composites

Une transformation composite est une séquence de transformations successives. Prenons les matrices et les transformations suivantes :

Matrice A	Rotation de 90 degrés
Matrice B	Mise à l'échelle par un facteur 2 dans la direction x
Matrice C	Translation de 3 unités dans la direction y

En multipliant le point de départ (2, 1) — représenté par la matrice [2 1 1] — successivement par A, B et C, vous lui appliquez les trois transformations dans l'ordre indiqué ci-dessus.

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

Au lieu d'utiliser trois matrices distinctes, vous pouvez multiplier les matrices A, B et C entre elles pour obtenir une matrice 3×3 unique qui stocke l'ensemble de la transformation composite. Supposons que ABC = D. Un point multiplié par D donne le même résultat qu'un point multiplié par A, puis par B, puis par C.

[2 1 1]D = [-2 5 1]

L'illustration suivante représente les matrices A, B, C et D.

S'il est possible de former la matrice d'une transformation composite en multipliant entre elles les matrices de transformation individuelles, il est possible de stocker dans un objet Matrix unique une séquence quelconque de transformations affines.

Attention :
L'ordre est important dans une transformation composite. En général, la séquence rotation-mise à l'échelle-translation n'est pas équivalente à la séquence mise à l'échelle-rotation-translation. De même, l'ordre de multiplication des matrices est important. En général, ABC n'est pas identique à BAC.

La classe Matrix fournit plusieurs méthodes pour créer une transformation composite : Multiply, Rotate, RotateAt, Scale, Shear et Translate. L'exemple suivant crée la matrice d'une transformation composite qui effectue tout d'abord une rotation à 30 degrés, puis une mise à l'échelle par un facteur 2 dans la direction y et enfin une translation de 5 unités dans la direction x :

Dim myMatrix As New Matrix()
myMatrix.Rotate(30)
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append)
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append)

Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

L'illustration suivante représente cette matrice.

Voir aussi

Autres ressources

Systèmes de coordonnées et transformations

Utilisation des transformations dans GDI+ managé