Notation et opérateurs Dirac
Dans l’unité précédente, vous avez appris à représenter des états de superposition pour un qubit unique sur une sphère Bloch. Toutefois, l’informatique quantique exige que les systèmes de nombreux qubits soient utiles. Nous avons donc besoin d’une meilleure façon de représenter les états de superposition dans les systèmes quantiques plus grands. En pratique, utilisez les lois de la mécanique quantique et le langage de l’algèbre linéaire pour décrire les états quantiques en général.
Dans cette unité, vous allez apprendre à exprimer des états quantiques dans la notation dirac bra-ket et à utiliser cette notation pour simplifier les calculs d’algèbre linéaire qui forment la base de la mécanique quantique et de l’informatique quantique.
Notation bra-ket de Dirac
La notation Dirac bra-ket, ou la notation Dirac pour faire court, est une notation abrégée qui facilite grandement l’écriture des états quantiques et les calculs d’algèbre linéaire. Dans la notation Dirac, les états possibles d’un système quantique sont décrits par des symboles appelés kets, qui ressemblent à ceci : $|\rangle$.
Par exemple, $|0\rangle$ et $|1\rangle$ représentent respectivement les états 0 et 1 d’un qubit. En général, nous représentons l’état d’un qubit comme $|\psi\rangle$, où $|\psi\rangle$ est une somme pondérée (ou combinaison linéaire) des deux états $|0\rangle$ et $|1\rangle$ :
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
Un qubit dans l’état $|\psi\rangle = |0\rangle$ signifie que $\alpha = 1$, $\beta = 0$, et il existe une probabilité de 100% que vous observez l’état 0 lorsque vous mesurez le qubit. De même, si vous mesurez un qubit dans l’état $|\psi\rangle =|1\rangle$, vous observez toujours l’état 1. Toutes les autres valeurs de $\alpha$ et $\beta$ représentent un état de superposition, tant que la condition de normalisation $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ est vraie.
Un qubit dans un état de superposition égal peut être écrit en tant que $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. La probabilité de mesurer 0 est $\frac12$ et la probabilité de mesurer 1 est également $\frac12$.
Opérateurs quantiques
Dans l’informatique quantique, les états quantiques sont manipulés au fil du temps pour effectuer des calculs. Ces manipulations sont représentées par des opérateurs quantiques, qui sont des fonctions qui agissent sur l’état d’un système quantique pour transformer le système en un autre état. Par exemple, l’opérateur X transforme l’état $|0\rangle$ en état $|1\rangle$ :
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
L’opérateur X est également appelé porte Pauli-X. Il s’agit d’une opération quantique fondamentale qui inverse l’état d’un qubit. Il y a trois portes Pauli : X, Yet Z. Chaque porte, ou opérateur, a un effet spécifique sur l’état qubit.
| Opérateur | Effet sur $\ket{0}$ | Effet sur $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| O | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Remarque
Les opérations quantiques sont souvent appelées portes dans le contexte de l’informatique quantique. Le terme porte quantique est une analogie avec les portes logiques dans les circuits informatiques classiques. Le terme est enraciné dans les premiers jours de l’informatique quantique lorsque des algorithmes quantiques ont été visualisées sous forme de diagrammes similaires aux diagrammes de circuit dans l’informatique classique.
Vous pouvez également utiliser un opérateur pour placer un qubit dans un état de superposition. L’opérateur Hadamard, place Hun qubit dans un état Hadamard, qui est une superposition égale de l’état $|0\rangle$ et de l’état $|1\rangle$ :
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
Lorsque vous mesurez un qubit dans un état Hadamard, vous avez 50% chance d’observer 0 et 50% chance d’observer 1.
Qu’est-ce que cela signifie de procéder à une mesure ?
Dans le monde classique, nous pensons que les mesures sont distinctes du système que nous mesurons. Par exemple, un faisceau radar qui mesure la vitesse d’un baseball n’affecte pas le baseball de manière significative. Mais dans le monde quantique, les mesures affectent les systèmes que nous mesurons. Quand on frappe un électron avec un photon pour prendre une mesure, il a un effet fondamental sur l’état de l’électron.
Dans l’informatique quantique, une mesure place irréversiblement un qubit dans l’un de ses états possibles, 0 ou 1. Dans l’exemple d’état Hadamard, si nous mesurons le qubit et qu’il est dans l’état 0, chaque mesure suivante de ce qubit donne toujours 0.
Pour en savoir plus sur la mesure dans le contexte de la mécanique quantique, consultez l’article Wikipédia sur le problème de mesure.