Formato a virgola mobile IEEE
Microsoft Visual C++ è conforme agli standard numerici IEEE. Esistono tre varietà interne di numeri reali. In Visual C++ vengono utilizzati numeri di tipo real*4 e real*8. Il tipo real*4 viene dichiarato mediante la parola float. Il tipo real*8 viene dichiarato mediante la parola double. Nella programmazione di applicazioni Windows a 32 bit il tipo di dati long double è associato a double. È comunque presente un supporto in linguaggio assembly per i calcoli che utilizzano il tipo di dati real*10.
I valori vengono archiviati come segue:
Valore |
Formato di archiviazione |
|---|---|
real*4 |
1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente, 23 bit per la mantissa |
real*8 |
1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente, 52 bit per la mantissa |
real*10 |
1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente, 64 bit per la mantissa |
Nei formati real*4 e real*8 viene utilizzato un 1 iniziale nella mantissa che non viene archiviato in memoria. Per questo motivo le mantisse sono in effetti di 24 o 53 bit, sebbene vengano archiviati solo 23 o 52 bit. Con il formato real*10 viene invece archiviato anche questo bit.
Il valore degli esponenti viene distorto della metà rispetto al valore possibile. Questo significa che per ottenere l'esponente effettivo è necessario sottrarre il valore di distorsione dall'esponente archiviato. Se l'esponente archiviato è inferiore al valore di distorsione, si tratta di un esponente negativo.
I valori degli esponenti vengono distorti come indicato di seguito:
Esponente |
Valore di distorsione |
|---|---|
8 bit (real*4) |
127 |
11 bit (real*8) |
1023 |
15 bit (real*10) |
16383 |
Questi esponenti non sono potenze di dieci, bensì di due, Ovvero gli esponenti archiviati di 8 bit possono avere valori fino a 127. Il valore 2**127 equivale all'incirca a 10**38, che rappresenta il limite effettivo di real*4.
La mantissa è archiviata come frazione binaria nella forma 1,XXX... . Questa frazione presenta un valore maggiore o uguale a 1 e minore di 2. Si noti che i numeri reali sono sempre archiviati in forma normalizzata, ovvero la mantissa viene spostata a sinistra in modo che il bit più significativo della mantissa sia sempre 1. Poiché questo bit è sempre 1, viene supposto (non archiviato) nei formati real*4 e real*8. Si suppone inoltre che la virgola binaria (non decimale) si trovi subito a destra dell'1 iniziale.
Il formato delle diverse dimensioni è quindi il seguente:
Formato |
BYTE 1 |
BYTE 2 |
BYTE 3 |
BYTE 4 |
... |
BYTE n |
|---|---|---|---|---|---|---|
real*4 |
SXXX XXXX |
XMMM MMMM |
MMMM MMMM |
MMMM MMMM |
|
|
real*8 |
SXXX XXXX |
XXXX MMMM |
MMMM MMMM |
MMMM MMMM |
... |
MMMM MMMM |
real*10 |
SXXX XXXX |
XXXX XXXX |
1MMM MMMM |
MMMM MMMM |
... |
MMMM MMMM |
S rappresenta il bit del segno, le X sono i bit dell'esponente e le M sono i bit della mantissa. Tenere presente che nei formati real*4 e real*8 il primo bit a sinistra è solo supposto, mentre nel formato real*10 è presente come "1" nel BYTE 3.
Per spostare correttamente la virgola binaria, è necessario innanzitutto annullare la distorsione dell'esponente, quindi spostare la virgola binaria verso destra o verso sinistra per il numero di bit appropriato.
Esempi
Di seguito sono riportati alcuni esempi in formato real*4:
Nell'esempio seguente, il bit di segno è zero e l'esponente archiviato è 128 o 100 0000 0 in formato binario, che corrisponde a 127 più 1. La mantissa archiviata è (1,) 000 0000 ... 0000 0000, con un 1 iniziale implicito e una virgola binaria, pertanto la mantissa effettiva è uno.
SXXX XXXX XMMM MMMM ... MMMM MMMM 2 = 1 * 2**1 = 0100 0000 0000 0000 ... 0000 0000 = 4000 0000Equivalente a +2 tranne per il fatto che è stato impostato il bit di segno. Questo vale per tutti i numeri a virgola mobile in formato IEEE.
-2 = -1 * 2**1 = 1100 0000 0000 0000 ... 0000 0000 = C000 0000Stessa mantissa, l'esponente è stato incrementato di uno (il valore distorto è 129 o 100 0000 1 in formato binario).
4 = 1 * 2**2 = 0100 0000 1000 0000 ... 0000 0000 = 4080 0000Stesso esponente, la mantissa è maggiore della metà: è (1,) 100 0000 ...0000 0000, che, dal momento che si tratta di una frazione binaria, corrisponde a 1 1/2 (i valori delle cifre frazionarie sono 1/2, 1/4, 1/8 e così via).
6 = 1.5 * 2**2 = 0100 0000 1100 0000 ... 0000 0000 = 40C0 0000Stesso esponente delle altre potenze di due, la mantissa è uno meno due a 127 o 011 1111 1 in formato binario.
1 = 1 * 2**0 = 0011 1111 1000 0000 ... 0000 0000 = 3F80 0000L'esponente distorto è 126, 011 1111 0 in formato binario, e la mantissa è (1,) 100 0000 ... 0000 0000, che corrisponde a 1 1/2.
.75 = 1.5 * 2**-1 = 0011 1111 0100 0000 ... 0000 0000 = 3F40 0000Esattamente uguale a due, tranne per il fatto che il bit che rappresenta 1/4 è impostato nella mantissa.
2.5 = 1.25 * 2**1 = 0100 0000 0010 0000 ... 0000 0000 = 4020 00001/10 è una frazione ripetuta in formato binario. La mantissa è appena inferiore a 1,6 e l'esponente distorto indica che 1,6 deve essere diviso per 16 (è 011 1101 1 in formato binario, ovvero 123 in formato decimale). L'esponente effettivo è 123 – 127 = –4, che indica che il fattore per cui moltiplicare è 2**–4 = 1/16. Si noti che la mantissa archiviata è arrotondata per eccesso nell'ultimo bit; si tratta di un tentativo di rappresentare nel modo più accurato possibile il numero non rappresentabile. Il motivo per cui 1/10 e 1/100 non sono rappresentabili in modo esatto in formato binario è analogo al motivo per cui 1/3 non è rappresentabile in modo esatto in formato decimale.
0.1 = 1.6 * 2**-4 = 0011 1101 1100 1100 ... 1100 1101 = 3DCC CCCD0 = 1.0 * 2**-128 = all zeros--a special case.
Vedere anche
Riferimenti
Causa della possibile perdita di precisione dei numeri a virgola mobile