もつれとは
もつれは、量子力学を古典的な力学から差別化する主要な特徴の 1 つです。 しかし、もつれとは一体何でしょうか。 それはどのように機能しますか? そして、量子情報にとってなぜそれほど重要なのでしょうか。
このユニットでは、量子もつれを定義して記述する方法を見ていき、それが量子コンピューティングの強力なリソースである理由を理解します。
量子もつれについて
$A$ と $B$ の 2 つの量子ビットがあるとします。 量子ビットは互いに独立しています。つまり、量子ビット $A$ の状態に関する情報は、それが何であれ、量子ビット $A$ にのみ属します。 同様に、量子ビット $B$ の状態に関する情報は、量子ビット $B$ に属します。 各量子ビットの状態を記述できます。 この場合、量子ビットは情報を共有していないため、もつれていません。
ここで、量子ビットをもつれさせるとします (後でこれを行う方法を学習します)。 量子ビット $A$ と $B$ がもつれている場合、量子ビット $A$ の状態に関する情報は、量子ビット $B$ の状態から独立していません。 もつれると、両方の量子ビット間で情報が共有され、量子ビット $A$ の状態や量子ビット $B$ の状態を推測する方法はありません。 記述できるのはグローバル システムの状態のみで、個々の量子ビットの状態は記述できません。
もつれとは、2 つ以上の粒子間の量子相関です。 2 つの粒子がエンタングル状態になると、それらを独立して記述することはできなくなり、システム全体として記述するしかできなくなります。
量子もつれの記述
グローバル システム $\ket{\phi}$ で次の状態にある 2 つの量子ビット $A$ と $B$ を考えてみます。
$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$
Note
ディラック表記では、$\ket{0_A 0_B}=|0\rangle_\text{A}|0\rangle_\text{B}$ です。 最初の位置が最初の量子ビットに対応し、2 番めの位置が 2 番めの量子ビットに対応します。
グローバル システム $\ket{\phi}$ は、状態 $|00\rangle$ と $|11\rangle$ の重ね合わせです。 両方の量子ビットを測定する場合、可能性があるのは $\ket{{00}$ と $\ket{{11}$ の 2 つの結果のみであり、それぞれの確率は同じ $\frac{1}{{2}$ です。
しかし、量子ビット $A$ の個別の状態は何でしょうか。 そして、量子ビット $B$ はどうでしょうか。 量子ビット $B$ の状態を考慮せずに量子ビット $A$ の状態を記述しようとすると、失敗します。 サブシステム $A$ と $B$ は、もつれています。つまり、相関関係があり、独立して記述できません。
ヒント
代数とディラック記法に慣れている場合は、$\ket{\phi}$ 状態を変更して、量子ビット $A$ の状態と、量子ビット $B$ の状態の掛け合わせなどの取得をお勧めします。 かっこを拡張したり、共通の係数を取得したりしようとすると、それが不可能であることがわかるでしょう。
量子状態 $\ket{\phi}$ は、ベル状態と呼ばれる特別なもつれ状態です。 ベル状態は 4 つあります。
$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$
もつれをリソースとして使用する
この時点で、もつれの何が大問題なのか疑問に思うかもしれません。
2 つの粒子がもつれているとき、サブシステムには相関関係があり、独立して記述できません。 しかし興味深いのは、測定結果にも相関関係があることです。つまり、もつれたペアの 1 つの量子ビットの状態に対してどのような操作が行われるとしても、もう一方の量子ビットの状態にも影響するということです。
たとえば、$\ket{\phi^{+}}$ 状態について考えてみましょう。
$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$
両方の量子ビットを測定すると、$|00\rangle$ または $|11\rangle$ を等しい確率で取得します。 $|01\rangle$ や $|10\rangle$ を取得する確率はゼロです。
しかし、1 つの量子ビットのみを測定するとどうなるでしょうか。
量子ビット $A$ のみを測定して、$|0\rangle$ 状態を取得した場合、グローバル システムが状態 $\ket{00}$ に崩れたことになります。 $|01\rangle$ を測定する確率はゼロであるため、これが唯一可能な結果です。
このため、量子ビット $B$ を測定することなく、2 番めの量子ビットも $|0\rangle$ 状態であると確信できます。 量子ビットがもつれているため、測定結果に相関関係があります。
もつれは、2 つの粒子間が大きく離れていても存在可能です。 この相関関係はどの古典的な相関関係よりも強く、量子テレポーテーション、量子暗号化、量子コンピューティングなどの量子情報処理タスクの主要なリソースです。