ディラック表記と演算子

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前のユニットでは、ブロッホ球で重ね合わせを表す方法を学習しました。 しかし、量子コンピューティングでは、線形代数と量子力学を理解する必要があります。 どうすれば、重ね合わせと量子状態を理解しやすく、扱いやすい方法で書くことができるでしょうか。

このユニットでは、量子状態を記述するための便利な表記である "ディラックのブラーケット" 表記について学習します。

ディラックのブラ-ケット記法とは

ディラック ブラケット記法、または短縮してディラック記法は、量子状態の書き込みと線形代数の計算を容易にする速記用の記法です。 この記法では、量子系の可能な状態は、$| \rangle$ のような見た目になる "ケット" と呼ばれる記号を使用して記述されます。

たとえば、$|0\rangle$ と $|1\rangle$ は、それぞれ量子ビットの 0 状態と 1 状態を表します。

量子ビットの状態 $|\psi\rangle = |0\rangle$ とは、その量子ビットを測定するときに 0 が観測される確率が 100% であることを意味します。 同様に、測定する量子ビットの状態が $|\psi\rangle =|1\rangle$ の場合は、常に 1 となります。

たとえば、重ね合わせ状態にある量子ビットを $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ と書くことができます。 この状態は、$|0\rangle$ 状態と $|1\rangle$ 状態の重ね合わせです。 0 を測定する確率は $\frac12$ であり、1 を測定する確率も $\frac12$ です。

量子演算子とは

量子コンピューティングとは、量子状態を操作して計算を実行することです。 "量子演算子" は、量子系の状態に作用して別の状態に変換する関数です。 たとえば、$|0\rangle$ 状態を $|1\rangle$ 状態に変換することができ、それには X 演算子を適用します。

$$X |0\rangle = |1\rangle$$

X 演算子は、"パウリ X ゲート" と呼ばれることもあります。 これは、量子ビットの状態を反転させる基本的な量子演算です。 パウリ ゲートは X、Y、Z の 3 つがあります。 各ゲートつまり演算子には、量子ビットの状態に対する固有の効果があります。

Operator $\ket{0}$ に対する効果 $\ket{1}$ に対する効果
x $X \ket{0} = \ket{1}$ $X\ket{1} = \ket{0}$
年 $Y\ket{0}=i\ket{1}$ $Y\ket{1}=-i\ket{0}$
Z $Z\ket{0}=\ket{0}$ $Z\ket{1}=-\ket{1}$

Note

量子演算の代わりに、量子ゲートという言葉を見聞きすることがあります。 "量子ゲート" は、古典的な論理ゲートと類似するものです。 その由来は量子コンピューティングの初期に、量子アルゴリズムが古典コンピューティングでの回路図に似た図として視覚化されていたことです。

演算子を使用して、量子ビットを重ね合わせ状態にすることができます。 アダマール演算子 H は、状態 $|0\rangle$ の量子ビットを $|0\rangle$ 状態と $|1\rangle$ 状態の重ね合わせにします。 これを数式で表すと、次のようになります。

$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$

この場合に、各状態が測定される確率は $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ と $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ です。 各状態は、50% の確率で測定されます。 また、$\frac12 + \frac12 = 1$ であることも確認できます。

測定を行うとは、何を意味するでしょうか。

量子力学では "測定" の概念に多くの解釈がありますが、詳細はこのモジュールの範囲を超えています。 量子コンピューティングの場合、これについて心配する必要はありません。

このモジュールでは、公式の考えではありませんが、測定とは量子ビットを "観測する" ことと理解してください。観測するとただちに量子の重ね合わせが崩壊して、0 と 1 に対応する 2 つの基底状態のいずれかになります。 たとえば、状態 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ の量子ビットを測定する場合、量子ビットが 2 つの可能な状態のいずれかを強制的に取得し、0 または 1 が等しい確率で観察されることを意味します。

量子力学のコンテキストにおける測定とその歴史的考察の詳細については、ウィキペディアの記事、「観測問題」を参照してください。