Dirac-notasjon og operatorer
I forrige enhet lærte du hvordan du representerer superposisjonstilstander for en enkelt kvantebit på en Bloch-sfære. Men kvanteberegning krever systemer med mange kvantebiter for å være nyttige, så vi trenger en bedre måte å representere superposisjonstilstander i større kvantesystemer. I praksis bruke kvantemekanikkens lover og språket til lineær algebra for å beskrive kvantetilstander generelt.
I denne enheten lærer du hvordan du uttrykker kvantetilstander i Dirac bra-ket-notasjon, og bruker den notasjonen til å forenkle de lineære algebraberegningene som danner grunnlaget for kvantemekanikk og kvanteberegning.
Dirac bra-ket-notasjon
Dirac bra-ket-notasjon, eller Dirac-notasjon for kort, er en stenografisk notasjon som gjør det mye enklere å skrive ut kvantetilstander og utføre lineære algebraberegninger. I Dirac-notasjon beskrives de mulige tilstandene til et kvantesystem med symboler kalt kets, som ser slik ut: $|\rvinkel$.
For eksempel representerer $|0\rvinkel$ og $|1\rvinkel$ henholdsvis henholdsvis 0 og 1 tilstander i en qubit. Generelt representerer vi tilstanden til en kvantebit som $|\psi\rvinkel$, der $|\psi\rvinkel$ er en vektet sum (eller lineær kombinasjon) av de to tilstandene $|0\rvinkel$ og $|1\rvinkel$:
$|\psi\rvinkel = \alpha|0\rvinkel + \beta|1\rvinkel$
En qubit i tilstanden $|\psi\rangle = |0\rangle$ betyr at $\alpha = 1$, $\beta = 0$, og det er 100% sannsynlighet for at du observerer 0-tilstanden når du måler qubiten. På samme måte, hvis du måler en kvantebit i tilstanden $|\psi\rvinkel =|1\rvinkel$, observerer du alltid tilstanden 1. Alle andre verdier av $\alpha$ og $\beta$ representerer en superposisjonstilstand, så lenge normaliseringsbetingelsen $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ er sann.
En qubit i en lik superposisjonstilstand kan skrives som $|\psi\rvinkel = \frac1{\sqrt2} |0\rvinkel + \frac1{\sqrt2} |1\rvinkel$. Sannsynligheten for å måle 0 er $\frac12$ og sannsynligheten for å måle 1 er også $\frac12$.
Kvanteoperatorer
I kvanteberegning manipuleres kvantetilstander over tid for å utføre beregninger. Disse manipulasjonene er representert av kvanteoperatorer, som er funksjoner som virker på tilstanden til et kvantesystem for å transformere systemet til en annen tilstand. Operatoren X transformerer for eksempel tilstanden $|0\rangle$ til tilstanden $|1\rangle$:
$$X |0\rvinkel = |1\rvinkel$$
Operatøren X kalles også den Pauli-X porten. Det er en grunnleggende kvanteoperasjon som vender tilstanden til en qubit. Det er tre Pauli-porter: X, Y, og Z. Hver port, eller operatør, har en spesifikk effekt på qubit-tilstanden.
| Operatør | Effekt på $\ket{0}$ | Effekt på $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Notat
Kvanteoperasjoner blir ofte referert til som porter i sammenheng med kvantedatabehandling. Begrepet kvanteport er en analogi til logiske porter i klassiske datakretser. Begrepet er forankret i de tidlige dagene av kvanteberegning da kvantealgoritmer ble visualisert som diagrammer som ligner på kretsskjemaer i klassisk databehandling.
Du kan også bruke en operator til å sette en kvantebit i en superposisjonstilstand. Hadamard-operatoren, H, setter en qubit i en Hadamard-tilstand, som er en lik superposisjon av $|0\rangle$-tilstanden og $|1\rangle$-tilstanden:
$$ H |0\rvinkel = \frac1{\sqrt2} |0\rvinkel + \frac1{\sqrt2} |1\rvinkel$$ $$ H |1\rvinkel = \frac1{\sqrt2} |0\rvinkel - \frac1{\sqrt2} |1\rvinkel$$
Når du måler en qubit i en Hadamard-tilstand, har du 50% sjanse til å observere 0 og 50% sjanse til å observere 1.
Hva betyr det å foreta en måling?
I den klassiske verden tenker vi på målinger som atskilt fra systemet vi måler. For eksempel påvirker ikke en radarstråle som måler hastigheten til en baseball baseballen på noen meningsfull måte. Men i kvanteverdenen påvirker målinger systemene vi måler. Når vi treffer et elektron med et foton for å ta en måling, har det en grunnleggende effekt på elektronets tilstand.
I kvanteberegning setter en måling irreversibelt en qubit i en av dens mulige tilstander, 0 eller 1. I Hadamard-tilstandseksemplet, hvis vi måler qubiten og finner ut at den er i 0-tilstanden, gir hver påfølgende måling av den qubiten alltid 0.
For å lære mer om måling i sammenheng med kvantemekanikk, se Wikipedia-artikkelen om måleproblemet.