Oi @Ronan_Costa.
Pela sua descrição, você acaba de confirmar que esse comportamento se deve à restrições impostas devido à políticas de segurança da sua empresa e nesse caso não há nada que você possa fazer, caso eles não permitam a navegação na internet.
Você disse que depois que coloca a sua matrícula e senha de rede no FortiClient, a conexão é estabelecida e à partir desse momento você não consegue mais acessar a internet por nenhum outro programa.
Eu também faço esse mesmo processo aqui para me conectar à rede de minha empresa via VPN...Porém após colocar minhas credenciais e estabelecer a conexão com a rede lá, meu acesso á internet continua normal...Eu posso usar os programas que eu quiser no meu computador (navegadores, whatsapp WEB, telegram, spotify, etc...) e me conectar aos computadores e servidores da minha empresa aio mesmo tempo.
Msa isso só é possível porque a política da minha empresa não coloca esse tipo de restrição ou então, eu também teria a mesma situação que você e eu também não poderia fazer nada.
Essas restrições são aplicadas obrigatoriamente, no momento em que a conexão com a rede da sua empresa se estabelece pelo FortiClient, porque essa é maneira que eles acharam melhor, para se resguardar de possíveis problemas com acesso aos dados internos, entende?
No seu caso, uma opção que eu vejo se eles realmente não liberam o acesso à internet via VPN é: você criar uma máquina virtua l(VM) no seu computador somente com o sistema operacional, instalar o FortiClient na sua VM e se conectar à rede da sua empresa por lá.
Dessa maneira, o seu computador físico continuará conectado à rede da sua casa e com acesso à internet, enquanto sua VM estará conectada á rede da sua empresa. É como se você tivesse 2 computadores diferentes para trabalhar ao mesmo tempo.
Mas há um ponto importante que precisa ser levado em conta aqui nesse solução também: pode ser que por questões de segurança, eles também não permitam conexões através de uma VM e nesse caso essa solução também não irá funcionar, a não ser que você converse com o pessoal de TI da sua empresa para que eles permitam que você faça isso.
Atenciosamente
Wiliam D.