Usando o Outlook para Android para gerenciar e-mails pessoais e a agenda
Olá, sou o John! Vou te ajudar com isso.
Só para esclarecer, você consegue acessar sua conta do Outlook.com pelo navegador, em https://outlook.live.com/mail, usando o mesmo endereço de e-mail e senha?
Quando o aplicativo do Gmail exibe a mensagem "falha na autenticação", isso pode acontecer se a senha estiver incorreta, se a verificação em duas etapas estiver ativada, se houver alguma atividade incomum de login na conta da Microsoft ou se o aplicativo do Gmail estiver sendo bloqueado e impedido de concluir o processo de login.
Se o problema persistir, tente instalar o aplicativo do Outlook pela Google Play Store e faça login por lá. Isso pode ajudar a determinar se o problema é específico do aplicativo do Gmail ou se está relacionado à própria conta da Microsoft.
Me avise se funcionar.