Здравствуйте.
Откройте папку C:\Users\User\AppData\Local\Packages\Microsoft.BingWeather_8wekyb3d8bbwe\LocalState\Configuration. Переименуйте находящийся в ней файл configuration_3.0.4.336.sqlite в configuration_3.0.2.258.sqlite. После переименования приложение "Погода" должно работать как и прежде, в том числе и после его многократного перезапуска.
Обновлено 24.02.2016. - Проблема была исправлена с выходом версии приложения 3.0.4.337, поэтому решение с переименованием файла configuration_3.0.4.336.sqlite не актуально, если у вас установлена эта или более поздняя версия.