Нотация дирака и операторы
В предыдущем уроке вы узнали, как представлять состояния суперпозиции для одного кубита в сфере Блока. Но квантовые вычисления требуют, чтобы системы многих кубитов были полезными, поэтому нам нужен лучший способ представления состояний суперпозиции в больших квантовых системах. На практике используйте законы квантовой механики и язык линейной алгебры для описания квантовых состояний в целом.
В этом уроке вы узнаете, как выразить квантовые состояния в нотации Дирака бра-кет и использовать эту нотацию для упрощения вычислений в рамках линейной алгебры, лежащих в основе квантовой механики и квантовых вычислений.
Дирак бра-кет нотация
Нотация Дирака бра-кет, или нотация Дирака вкратце, представляет собой краткую нотацию, которая упрощает запись квантовых состояний и выполнение вычислений в линейной алгебре. В нотации Дирака возможные состояния квантовой системы описываются символами, называемыми кетами, которые выглядят следующим образом: $| \rangle$.
Например, $|0\rangle$ и $|1\rangle$ представляют 0 и 1 состояния кубита соответственно. Как правило, мы представляем состояние кубита как $|\psi\rangle$, где $|\psi\rangle$ является взвешенной суммой (или линейной комбинацией) двух состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$:
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
Кубит в состоянии $|\psi\rangle = |0\rangle$ означает, что $\alpha = 1$, $\beta = 0$, и с вероятностью 100% вы наблюдаете состояние |0⟩ при измерении кубита. Аналогичным образом, если измерять кубит в состоянии $|\psi\rangle =|1\rangle$, то состояние 1 всегда наблюдается. Любые другие значения $\alpha$ и $\beta$ представляют состояние суперпозиции, если условие нормализации $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ имеет значение true.
Кубит в равновесной суперпозиции можно записать как $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Вероятность измерения 0 составляет $\frac12$ и вероятность измерения 1 также $\frac12$.
Квантовые операторы
В квантовых вычислениях квантовые состояния управляются с течением времени для выполнения вычислений. Эти манипуляции представлены квантовыми операторами, которые являются функциями, которые действуют на состояние квантовой системы для преобразования системы в другое состояние. Например, оператор X преобразует состояние $|0\rangle$ в состояние $|1\rangle$:
$$X |0\rугол равно |1\rугол$$
Оператор X также называется гейтом Паули-X. Это фундаментальная квантовая операция, которая перевернута состояние кубита. Есть три ворота Паули: X, Yи Z. Каждый шлюз или оператор имеют определенное влияние на состояние кубита.
| Оператор | Влияние на $\ket{0}$ | Влияние на $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket = \ket{0}{1}$ | $X\ket = \ket{1}{0}$ |
| У | $Y\ket=i\ket{0}{1}$ | $Y\ket=-i\ket{1}{0}$ |
| Z | $Z\ket=\ket{0}{0}$ | $Z\ket=-\ket{1}{1}$ |
Примечание.
Квантовые операции часто называются шлюзами в контексте квантовых вычислений. Термин квантовые ворота — это аналогия с воротами логики в классических каналах компьютеров. Термин коренится в ранние дни квантовых вычислений, когда квантовые алгоритмы были визуализированы как схемы, аналогичные схемам каналов в классических вычислениях.
Оператор также можно использовать для добавления кубита в состояние суперпозиции. Оператор Адамара H помещает кубит в состояние Адамара, которое является равной суперпозицией состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$.
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
При измерении кубита в состоянии Hadamard у вас есть 50% шанс наблюдать 0 и 50% шанс наблюдать 1.
Что значит делать измерение?
В классическом мире мы считаем измерения как отдельные от системы, которую мы измеряем. Например, радиолокационный луч, который измеряет скорость бейсбола, не влияет на бейсбол каким-либо значимым образом. Но в квантовом мире измерения влияют на системы, которые мы измеряем. Когда мы ударим в электрон фотоном, чтобы выполнить измерение, это оказывает фундаментальный эффект на состояние электрона.
В квантовых вычислениях измерение необратимо помещает кубитов в одно из возможных состояний, 0 или 1. В примере состояния Hadamard, если измерять кубит и находить его в состоянии 0, то каждое последующее измерение этого кубита всегда дает 0.
Дополнительные сведения о измерении в контексте квантовой механики см. в статье Википедии о проблеме измерения.