Dönüşümlerin Matris Gösterimi

m×n matrisi, m satırları ve n sütunlarında düzenlenmiş bir sayı kümesidir. Aşağıdaki çizimde birkaç matris gösterilmektedir.

Tek tek öğeler ekleyerek aynı boyutta iki matris ekleyebilirsiniz. Aşağıdaki çizimde matris eklemeye ilişkin iki örnek gösterilmiştir.

m×n matrisi n×p matrisi ile çarpılabilir ve sonuç bir m×p matrisidir. İlk matristeki sütun sayısı, ikinci matristeki satır sayısıyla aynı olmalıdır. Örneğin, 4×2 matrisi, 4×3 matris üretmek için 2×3 matrisi ile çarpılabilir.

Düzlemdeki noktalar, matrisin satır ve sütunları vektör olarak düşünülebilir. Örneğin, (2, 5) iki bileşeni olan bir vektördür ve (3, 7, 1) üç bileşenli bir vektördür. İki vektörünün nokta ürünü aşağıdaki gibi tanımlanır:

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Örneğin, (2, 3) ve (5, 4) nokta çarpımları (2)(5) + (3)(4) = 22'dir. (2, 5, 1) ve (4, 3, 1) nokta çarpımları (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24'tür. İki vektörünün nokta çarpımının bir sayı olduğunu, başka bir vektör olmadığını unutmayın. Ayrıca noktalı ürünü yalnızca iki vektör aynı sayıda bileşene sahipse hesaplayabileceğinizi unutmayın.

A(i, j), A matrisinin i. satırındaki ve j. sütunundaki girdisi olsun. Örneğin A(3, 2), 3. satırdaki A matrisindeki ve 2. sütundaki giriştir. A, B ve C'nin matrisler ve AB = C olduğunu varsayalım. C girdileri aşağıdaki gibi hesaplanır:

C(i, j) = (A'nın i. satırı) • (B'nin j. sütunu)

Aşağıdaki çizimde matris çarpmasının çeşitli örnekleri gösterilmektedir.

Düzlemdeki bir noktayı 1×2 matrisi olarak düşünüyorsanız, 2×2 matrisle çarparak bu noktayı dönüştürebilirsiniz. Aşağıdaki çizimde, noktaya uygulanan çeşitli dönüştürmeler gösterilmektedir (2, 1).

Matrisin düzlemdeki bir noktaya dönüştürülmesi

Önceki şekilde gösterilen dönüştürmelerin tümü doğrusal dönüşümlerdir. Çeviri gibi diğer bazı dönüştürmeler doğrusal değildir ve 2×2 matrisi tarafından çarpım olarak ifade edilemez. Noktayla (2, 1) başlamak, 90 derece döndürmek, x yönünde 3 birim çevirmek ve 4 birimi y yönünde çevirmek istediğinizi varsayalım. Bunu, matris çarpması ve ardından matris ekleme kullanarak gerçekleştirebilirsiniz.

Doğrusal bir dönüşüm (2×2 bir matrisle çarpma) ve ardından öteleme (1×2 bir matrisin eklenmesi) bir affin dönüşümü olarak adlandırılır. Bir benze dönüştürmeyi bir matris çiftinde depolamanın bir alternatifi (biri doğrusal parça, diğeri çeviri için) tüm dönüşümü 3×3 matrisinde depolamaktır. Bunun işe yaraması için düzlemdeki bir nokta, 1×3 matrisinde 3. manken koordinatı ile depolanmalıdır. Her zamanki teknik, tüm 3. koordinatları 1'e eşit hale getirmektir. Örneğin, nokta (2, 1) matris [2 1 1] ile temsil edilir. Aşağıdaki çizimde, tek bir 3×3 matrisle çarpma olarak ifade edilen bir affin dönüşüm (90 derece döndürün; x yönünde 3 birim, y yönünde 4 birim kaydırın) gösterilmektedir.

Yukarıdaki örnekte nokta (2, 1) noktası (2, 6) ile eşlenir. 3×3 matrisinin üçüncü sütununun 0, 0, 1 sayılarını içerdiğini unutmayın. Bu her zaman bir affin dönüşümün 3×3 matrisi için geçerli olacaktır. Önemli sayılar, 1 ve 2 sütunlarındaki altı sayıdır. Matrisin sol üst 2×2 bölümü dönüşümün doğrusal bölümünü, 3. satırdaki ilk iki girdi ise çeviriyi temsil eder.

GDI+'da bir Matrix nesnesinde bir benze dönüştürme depolayabilirsiniz. Matrisin bir benzeşim dönüşümünü temsil eden üçüncü sütunu her zaman (0, 0, 1) olduğundan, bir Matrix nesnesi oluştururken ilk iki sütunda yalnızca altı sayı belirtirsiniz. deyimi Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) önceki şekilde gösterilen matrisi oluşturur.

Bileşik Dönüşümler

Bileşik dönüştürme, biri diğeri tarafından takip edilen bir dönüşüm dizisidir. Aşağıdaki listede yer alan matrisleri ve dönüşümleri göz önünde bulundurun:

Matris	Dönüşüm
Matris A	90 derece döndür
Matris B	X yönünde 2 faktörüne göre ölçeklendirme
Matris C	3 birimi y yönünde çevirin

[2 1 1] matrisinin temsil ettiği nokta (2, 1) ile başlar ve A, B, sonra C ile çarpılırsak, nokta (2, 1) listelenen sırayla üç dönüştürmeden geçer.

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

Bileşik dönüşümün üç bölümünü üç ayrı matriste depolamak yerine, bileşik dönüşümün tamamını depolayan tek bir 3×3 matrisi elde etmek için A, B ve C'yi birlikte çarpabilirsiniz. ABC = D olduğunu varsayalım. Ardından D ile çarpılan bir nokta, A, B ve sonra da C ile çarpılan noktayla aynı sonucu verir.

[2 1 1]D = [-2 5 1]

Aşağıdaki çizimde A, B, C ve D matrisleri gösterilmektedir.

Bileşik dönüştürme matrisinin tek dönüştürme matrislerinin çarpılmasıyla oluşturulabilmesi, herhangi bir benze dönüştürme dizisinin tek bir Matrix nesnesinde depolanabileceği anlamına gelir.

Dikkat

Bileşik dönüşümün sırası önemlidir. Genel olarak, önce döndürmek, sonra ölçeklendirmek, sonra çevirmek ile önce ölçeklendirmek, sonra döndürmek, sonra çevirmek aynı değildir. Benzer şekilde, matris çarpımının sırası önemlidir. Genel olarak, ABC BAC ile aynı değildir.

Matrix sınıfı bileşik dönüştürme oluşturmak için çeşitli yöntemler sağlar: Multiply, Rotate, RotateAt, Scale, Shearve Translate. Aşağıdaki örnek, önce 30 derece döndüren, ardından y yönünde 2 kat ölçeklendiren ve en sonunda x yönünde 5 birim taşıyan bir bileşik dönüştürme matrisini oluşturur.

Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

Dim myMatrix As New Matrix()
myMatrix.Rotate(30)
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append)
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append)

Aşağıdaki çizimde matris gösterilmektedir.

Ayrıca bakınız

• Koordinat Sistemleri ve Dönüşümleri
• Yönetilen GDI+'da Dönüşümleri Kullanma