Dirac notace a operátory
V předchozí lekci jste se dozvěděli, jak znázorňovat stavy superpozice pro jeden qubit na Bloch sphere. Kvantové výpočty ale vyžadují, aby systémy mnoha qubitů byly užitečné, takže potřebujeme lepší způsob, jak znázorňovat stavy superpozice ve větších kvantových systémech. V praxi používejte zákony kvantové mechaniky a jazyk lineární algebry k popisu kvantových stavů obecně.
V této lekci se naučíte vyjádřit kvantové stavy v dirac bra-ket notaci a tuto notaci použít ke zjednodušení lineárních algebrových výpočtů, které tvoří základ kvantové mechaniky a kvantového computingu.
Dirac bra-ket notace
Dirac bra-ket notation, neboli Dirac notation for short, je zkratka, která usnadňuje psaní kvantových stavů a provádění lineárních algebraových výpočtů. V diracovém zápisu jsou možné stavy kvantového systému popsány symboly označovanými jako kets, které vypadají takto: $|\rúhel$.
Například $|0\rangle$ a $|1\rangle$ představují 0 a 1 stavy qubitu v uvedeném pořadí. Obecně představujeme stav qubitu jako $|\psi\rúhel$, kde $|\psi\rúhel$ je vážený součet (nebo lineární kombinace) dvou stavů $|0\rúhlu$ a $|1\rúhlu$:
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
Qubit ve stavu $|\psi\rúhel = |0\rúhel$ znamená, že $\alpha = 1$, $\beta = 0$ a existuje 100% pravděpodobnost, že při měření qubitu zaznamenáte 0. Podobně platí, že pokud změříte qubit ve stavu $|\psi\rangle =|1\rangle$, budete vždy pozorovat stav 1. Všechny ostatní hodnoty $\alpha$ a $\beta$ představují stav superpozice, pokud je podmínka normalizace $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ pravdivá.
Qubit ve stavu rovnoměrné superpozice lze zapsat jako $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Pravděpodobnost měření 0 je $\frac12$ a pravděpodobnost měření 1 je také $\frac12$.
Kvantové operátory
V kvantových výpočtech jsou kvantové stavy manipulovány v průběhu času za účelem provádění výpočtů. Tyto manipulace jsou reprezentovány kvantovými operátory, což jsou funkce, které pracují se stavem kvantového systému a transformují systém do jiného stavu. Operátor například X transformuje stav $|0\rangle$ na stav $|1\rangle$:
$$X |0\rúhel = |1\rúhel$$
Operátor X se také nazývá brána Pauli-X. Jedná se o základní kvantovou operaci, která převrací stav qubitu. Existují tři Pauli brány: X, Ya Z. Každá brána nebo operátor má specifický vliv na stav qubitu.
| Operátor | Efekt na $\ket{0}$ | Efekt na $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Й | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket=\ket{0}{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Poznámka:
Kvantové operace se často označují jako brány v kontextu kvantového computingu. Pojem kvantová brána je analogie k logickým branám v klasických počítačových obvodech. Termín je kořenem v raných dnech kvantového computingu, kdy byly kvantové algoritmy vizualizovány jako diagramy podobné diagramům obvodů v klasickém computingu.
Pomocí operátoru můžete qubit vložit do stavu superpozice. Operátor Hadamard H vloží qubit do Hadamardova stavu, což je rovnocenná superpozice stavu $|0\rangle$ a $|1\rangle$.
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
Při měření qubitu ve stavu Hadamard máte 50% šanci pozorovat 0 a 50% šanci pozorovat 1.
Co znamená udělat měření?
V klasickém světě si myslíme měření jako oddělenou od systému, který měříme. Radarový paprsek, který měří rychlost baseballu, nijak významně neovlivňuje baseball. V kvantovém světě ale měření ovlivňují systémy, které měříme. Když na elektron působíme fotonem za účelem měření, má to zásadní vliv na stav elektronu.
V kvantovém computingu měření nevratně umístí qubit do jednoho ze svých možných stavů, 0 nebo 1. Pokud v příkladu stavu Hadamard změříme qubit a zjistíme, že je ve stavu 0, pak každé následné měření tohoto qubitu vždy dává 0.
Další informace o měření v kontextu kvantové mechaniky najdete v článku Wikipedie o problému měření.