Erweiterte Matrixkonzepte im Quantencomputing

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In diesem Artikel werden die Konzepte von Eigenwerten, Eigenvektoren und Exponentiale erläutert. Bei diesen Konzepten handelt es sich um grundlegende Matrixtools zur Beschreibung und Implementierung von Quantenalgorithmen. Die Grundlagen von Vektoren und Matrizen, wie sie für Quantencomputing gelten, finden Sie unter Lineare Algebra für Quantencomputing und Vektoren und Matrizen.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Angenommen, $M$ ist eine quadratische Matrix und $v$ ein Vektor, bei dem es sich nicht um einen reinen Nullvektor handelt (z. B. der Vektor, bei dem alle Einträge $0$ sind).

Der Vektor $v$ ist ein Eigenvektor von $M$, wenn $Mv = cv$ für eine Zahl $c$ gilt. Die ganze Zahl $c$ ist der zugehörige Eigenwert für den Eigenvektor $v$. Im Allgemeinen kann eine Matrix $M$ einen Vektor in einen beliebigen anderen Vektor transformieren. Ein Eigenvektor ist jedoch ein Sonderfall, da er lediglich mit einer Zahl multipliziert wird, ansonsten aber unverändert bleibt. Hinweis: Wenn $v$ ein Eigenvektor mit dem Eigenwert $c$ ist, dann ist $av$ ebenfalls ein Eigenvektor (für jeden $a$-Wert ungleich null) mit dem gleichen Eigenwert.

Bei der Identitätsmatrix ist beispielweise jeder Vektor $v$ ein Eigenvektor mit dem Eigenwert $1$.

Sehen wir uns als weiteres Beispiel eine Diagonalmatrix$D$ an, die auf der Diagonale ausschließlich Einträge ungleich null aufweist:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 0 \\& d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$

Die Vektoren

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{and}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

sind Eigenvektoren dieser Matrix mit den Eigenwerten $d_1$, $d_2$ bzw. $d_3$. Wenn $d_1$, $d_2$ und $d_3$ unterschiedliche Zahlen sind, dann sind diese Vektoren (und ihr Vielfaches) die einzigen Eigenvektoren der Matrix $D$. Im Allgemeinen lassen sich die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonalmatrix problemlos ablesen. Die Eigenwerte sind alle Zahlen, die auf der Diagonale erscheinen. Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren, bei denen ein Eintrag $1$ und die übrigen Einträge $0$ ergeben.

Beachten Sie im Beispiel oben, dass die Eigenvektoren von $D$ eine Basis für $3$-dimensionale Vektoren bilden. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die es ermöglicht, die Vektoren als lineare Kombination zu schreiben. $v_1$, $v_2$ und $v_3$ bilden also eine Basis, wenn ein beliebiger Vektor $v$ als $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ für die Zahlen $a_1$, $a_2$ und $a_3$ geschrieben werden kann.

Beim Quantencomputing begegnen Ihnen im Wesentlichen nur zwei Matrizen: hermitesche und unitäre. Denken Sie daran, dass eine Hermit-Matrix (auch als selbstkonjugierte Matrix bezeichnet) eine komplexe quadratische Matrix ist, die ihrer eigenen komplexen Konjugattransponation entspricht, während eine unitäre Matrix eine komplexe quadratische Matrix ist, deren Inverse ihrer komplexen Konjugattransponation entspricht.

Es gibt ein allgemeines Ergebnis, das als Spektralsatz bekannt ist, was Folgendes impliziert: Für jede hermitische oder unitäre Matrix $M$ gibt es ein unitäres $U$ , so dass $M=U^\dagger D U$ für eine diagonale Matrix $D$. Darüber hinaus sind die diagonalen Einträge von $D$ die Eigenwerte von $M$, und Spalten von $U^\dagger$ werden die entsprechenden Eigenvektoren sein. Diese Factorisierung wird als spektrale Zerlegung oder Eigenkomposition bezeichnet.

Matrixexponentiale

Ein Matrixexponential lässt sich zudem analog zur Exponentialfunktion definieren. Das Matrixexponential einer Matrix $A$ lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

Dies ist wichtig, da die quantenmechanische Zeitentwicklung durch eine unitäre Matrix der Form $e^{iB}$ für eine hermitesche Matrix $B$ beschrieben wird. Aus diesem Grund sind Matrixexponentialfunktionen ein wesentliches Element des Quantencomputings, und Q# verfügt daher über intrinsische Routinen zum Beschreiben dieser Vorgänge. In der Praxis gibt es eine Vielzahl von Vorgehensweisen zum Berechnen von Matrixexponentialen auf einem klassischen Computer. Und im Allgemeinen gilt, dass eine numerische Approximation wie bei einer Exponentialfunktion Risiken birgt. Weitere Informationen zu den Herausforderungen bei dieser Vorgehensweise finden Sie hier: Cleve Moler and Charles Van Loan. "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix." SIAM review 20.4 (1978): 801-836.

Die einfachste Methode zum Berechnen der Exponentialfunktion einer Matrix ist die Verwendung der Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix. Der oben erläuterte Spektralsatz besagt, dass bei jeder hermiteschen oder unitären Matrix $A$ eine unitäre Matrix $U$ und eine Diagonalmatrix $D$ vorhanden ist und somit Folgendes gilt: $A=U^\dagger D U$. Aufgrund der Eigenschaften der Unitarität gilt $A^2 = U^\dagger D^2 U$. Gleichermaßen gilt für eine Potenz $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Hier ist dies in der Operatordefinition der Operatorexponentialfunktion ersetzt worden:

$$ e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2}!+\cdots\right)U= ^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots&Amp; 0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots&Amp; 0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& 0&Amp;\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Mit anderen Worten: Bei einer Transformation in die Eigenbasis der Matrix $A$ entspricht die Berechnung des Matrixexponentials der Berechnung des normalen Exponentials der Eigenwerte der Matrix. Da viele Vorgänge beim Quantencomputing Matrixexponentiale beinhalten, ist es hilfreich, eine Transformation in die Eigenbasis einer Matrix durchzuführen, um die Bildung des Operatorexponentials zu vereinfachen. Dies ist die Grundlage vieler Quantenalgorithmen und kommt beispielsweise bei den Trotter-Suzuki-Quantensimulationsmethoden zum Einsatz, die später in diesem Leitfaden erläutert werden.

Eine weitere nützliche Eigenschaft enthält für Involutory-Matrizen. Eine Involutormatrix $B$ ist sowohl unitär als auch hermitisch, $d. h. B=^B^{-1}=\dagger$. Dann ist eine Involutormatrix eine quadratische Matrix, die ihrer eigenen Umkehrung B $^2=\mathbf{1}$ entspricht. Durch Anwenden dieser Eigenschaft auf die oben genannte Erweiterung der Matrix exponentiell, Gruppieren der $\mathbf{1}$ und der $B-Begriffe$ und Anwenden des Maclaurin-Theorems auf die Kosinus- und Sinusfunktionen, die Identität

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

hält für jeden realen Wert $x$. Dieser Trick ist besonders nützlich, da sie es Ihnen ermöglicht, die Aktionen zu ermitteln, die Matrix exponentiell sind, auch wenn die Dimension von $B$ exponentiell groß ist, für den Sonderfall, wenn $B$ involutorisch ist.

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