Algèbre linéaire pour l’informatique quantique

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L’algèbre linéaire est le langage de l’informatique quantique. Vous n’avez pas besoin de connaître les détails de son fonctionnement pour implémenter ou écrire des programmes quantiques, mais sachez qu’il est largement utilisé pour représenter les états des qubits et les opérations quantiques, et pour prédire le comportement d’un ordinateur quantique en réponse à une séquence d’instructions.

Tout comme avoir une certaine connaissance des concepts fondamentaux de la physique quantique peut vous aider à comprendre l’informatique quantique, avoir quelques notions de base sur l’algèbre linéaire est utile pour mieux comprendre le fonctionnement des algorithmes quantiques. Vous devez au moins être familiarisé avec les vecteurs et la multiplication des matrices. Si vous souhaitez rafraîchir vos connaissances de ces concepts algébriques, consultez ces tutoriels qui expliquent les principes de base :

Vecteurs et matrices dans l’informatique quantique

Un qubit peut être dans l’état 1 ou 0, ou une superposition des deux. À l’aide de l’algèbre linéaire, l’état d’un qubit est décrit comme un vecteur et est représenté par une matrice$\begin{bmatrix} de colonne unique a \\ b \end{bmatrix}$. Il est également appelé vecteur d’état quantique et doit répondre à l’exigence $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Les éléments de la matrice représentent la probabilité que le qubit s’effondre d’une manière ou de l’autre, avec $|a^2$ la probabilité de s’effondrer à zéro, et $|b|^2$ étant la probabilité de s’effondrer| à un. Les matrices suivantes représentent toutes des vecteurs d’état quantique valides :

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\frac{\\\begin{bmatrix}{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\frac{ ,\frac{1}{\sqrt{\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}} et{2}}\frac{1}{\sqrt{\text{}\begin{bmatrix}\frac{\\-i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Les opérations quantiques peuvent également être représentées par une matrice. Quand une opération quantique est appliquée à un qubit, les deux matrices qui les représentent sont multipliées, et le résultat donné en réponse représente le nouvel état du qubit après l’opération.

Voici deux opérations quantiques courantes représentées par la multiplication des matrices.

L’opération X est représentée par la matrice $de Pauli X$,

$$X =0 amp ; 1 \\ 1 & ; 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

et est utilisée pour inverser l’état d’un qubit de 0 à 1 (ou vice versa), par exemple

$$\begin{bmatrix}0 & ; 1\\ 1 & ; 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

L’opération H est représentée par la transformation $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & ; 1\\ 1 & ;-1\end{bmatrix},$$

et met un qubit dans un état de superposition où il a une probabilité égale d’être réduit dans un sens ou l’autre, comme illustré ici

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & ; 1\\ 1 & ;-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 0 \\\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Notez que $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$, ce qui signifie que la probabilité de s’effondrer à zéro et à un état est la même.

Une matrice qui représente une opération quantique a une exigence : elle doit être une matrice unitaire. Une matrice est unitaire si l’inverse de la matrice est égal à la matrice transposée conjuguée.

Représentation des états de deux qubits

Dans les exemples ci-dessus, l’état d’un qubit a été décrit à l’aide d’une matrice $\begin{bmatrix} à colonne unique b \\\end{bmatrix}$, et l’application d’une opération à celui-ci a été décrite en multipliant les deux matrices. Toutefois, comme les ordinateurs quantiques utilisent plusieurs qubits, comment pouvez-vous représenter l’état combiné de deux qubits ?

Notes

La puissance réelle de l’informatique quantique provient de l’utilisation de plusieurs qubits pour effectuer des calculs. Pour une présentation plus approfondie de cette rubrique, consultez Opérations sur plusieurs qubits.

N’oubliez pas que chaque qubit est un espace vectoriel, et qu’il n’est donc pas possible d’effectuer une simple multiplication. Au lieu de cela, vous utilisez un produit tensoriel, qui est une opération associée qui crée un espace vectoriel à partir d’espaces vectoriels individuels et qui est représenté par le $\otimes$ symbole . Par exemple, le produit tensoriel de deux états $\begin{bmatrix}\\ de qubit a b \end{bmatrix}$ et $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ est calculé

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Le résultat est une matrice à quatre dimensions, où chaque élément représente une probabilité. Par exemple, $ac$ est la probabilité que les deux qubits s’effondrent à 0 et 0, $ad$ est la probabilité de 0 et 1, et ainsi de suite.

Tout comme un seul état $\begin{bmatrix} de qubit, un \\ b \end{bmatrix}$ doit répondre à l’exigence que $|a|^2 + |b|^2 = 1$ pour représenter un état quantique, un état à deux qubits $\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ doit répondre à l’exigence ac|$|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Résumé

L’algèbre linéaire est le langage standard utilisé pour les représentations dans l’informatique quantique et la physique quantique. Même si la bibliothèque standard incluse avec Microsoft Quantum Development Kit vous aide à exécuter des algorithmes quantiques avancés sans vous plonger dans les mathématiques sous-jacentes, la compréhension des principes de base vous permet de commencer rapidement et de fournir une base solide sur laquelle vous pouvez vous appuyer.

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