Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
以下のキャンペーンで購入されたパッケージ版の Office 2010 でしょうか。
次期 Office 無償アップグレードプログラム | パッケージ製品
Office 2013 にアップグレードする時に使用した Microsoft アカウントが必要です。
サービスとサブスクリプションページにアクセスしてサインインすると、アップグレードで入手した Office 2013 が表示されてくると思いますので、インストールするで表示される手順に従って再インストールができます。
※Office 2013 のプロダクトID は、アップグレード時に入手したプロダクトキーのことですか?
サポートが終了していることと、パッケージ版の再インストールには使いませんが、優待アップグレード版の入手を証明できる一つなので、保管しておくほうが良いでしょう。