清人皆川 さん、こんにちは。
マイクロソフト コミュニティへの投稿ありがとうございます。
PC を買い替えたところ、プリンターが使えなくなってしまったのですね。
参考: HL-5250DN よくあるご質問(Q&A)- Windows 10標準ドライバーのセットアップ方法を教えてください
上記ページ手順 2 のところで、タスクバーにアイコンが表示されず標準ドライバーのインストールが自動で始まらないということでしょうか。
バックグラウンド動作している常駐ソフトなどが干渉しないよう、PC を「クリーン ブート」で起動した状態でも同様か、確認してみてください。
状況が変わらない場合は、以下ページも参考に手動でのプリンター追加操作も試してみてはいかがでしょう。