※ 質問者さんへの追加の提案と、M-Marlさんへのこの回答内容の精査検討のお願いです。
私の手元でも、Winキー-Pの押下後にWinキーの押しっぱなしでは何らかの動作が行われているようには見えません。
>表示方法を選択する前に、pcの画面が真っ暗になり、約7,8秒後、表示方法を選ぶ画面に。ここでどれを選んでも反応なし。そのうえ、スクリーンを見てみると、接続の準備ができました、と①の状態に戻ります。
これを見ると質問時にはMiracast設定上で操作をしているようですから、どこかしらMiracastの機能(や通信)に不都合が発生していたということでしょうか…。
>画面が真っ暗から復旧した後に、ちょっとだけ小さくなる、もどる、を2,3回繰り返して
この動作は、マルチモニタで画面拡張する場合も(特に解像度の異なるモニタの場合に)よくある動作ですので、プロジェクター側の解像度やリフレッシュレートがPCと異なっていたために質問者さんの場合は(自動で解像度を調整しての)画面拡張ができずにいたということかもしれません。
外部モニタとの接続自体はできていたようですので、プロジェクター側の解像度やリフレッシュレートを確認することも必要かもしれません。
追加で確認したらよいかもしれない事柄
プロジェクターのメーカーへの問い合わせ。場合によっては、プロジェクターのファームウエアの更新やリセットが必要になる可能性があります。
===以下事例===
実は、先日私の手元でブラザー社製の古めのプリンター2台の動作が不調になりました。また、Win10ではWi-Fiに関する不調も少なくない頻度で発生しているようです。
※ プリンターは無線接続では2GHzでのみ接続可能で、5GHz帯の利用ができない程度に古いものです。
※ 私の手元ではWin11 PC側の不調であったのかは定かではありません。ただし、23H2から24H2にアップ後に手動でIP指定でもプリンターの追加ができなくなってしまいました。
私の手元では以下のようになりました。
・23H2にアップ後から、印刷をしようとするとできない事象が発生しはじめた。
・調べるとプリンターがオフラインになっている。
・無線ルーターとプリンターの接続はできている。
・検索して、プリンターを(手動・IPアドレス指定で検索して)インストールすると印刷ができるように復旧する。
・何回か再起動すると、またオフラインが発生する。
・24H2にアップしたところ、プリンターを接続することがでまったくきなくなった。
・この時点で、プリンターと無線ルーターが接続できない状態になってしまっていた可能性もあるが、最初の確認時点ではプリンターと無線ルーターは接続できていて、何度か再接続操作をしているうちにまったく接続ができなくなってしまった。
障害の発生のトリガーとなったかもしれない事柄
・23H2から24H2へのアップ
・23H2時にルーターのファームウエアアップデートがあった
・プリンターのうち1台(ビジネス用)は、Win11用のユーティリティーソフトは提供されておらず個別のドライバーのみの提供となっている状況。
・もう1台(家庭用)はWin11用のユーティリティーソフトとドライバが提供されているのだが、私の環境ではユーティリティーソフトを導入するとコア分離の保護が(たぶん)USU関連のDLL(内容はドライバー)が原因で無効になってしまう。対応策として、当該DLLを削除した。
ブラザーサポートに問い合わせて提示された方法
・ルーターのリセット
・プリンターの工場出荷状態へのリセット
・改めて最新のファームウエアを導入
この実行でプリンターと無線ルーターの通信が確保でき、問題なく動作するようになった。
15年以上程度前のOKI製のプリンター(やWinのドライバーの追加からドライバーの追加を行わなければならない機種)などでは、設定の変更自・接続ポートなどを変更する場合・ファームウエアのアップ後などのときに一度機器をリセットする必要があるものが存在します。
たぶん、私のプリンターは長年利用しているうちにOSや無線通信規格と暗号化方式などが何度か変わり、その蓄積が要因で無線機能の不具合が発生したのではないかと思います。
プリンターを一度リセットすることでクリアな状態にし、最新のファームウエアの内容だけを適用したことで回復したと考えられます。
質問者さんがご利用のプロジェクター(ないしはプロジェクターに挿しているドングル)でも同じようなことが発生していて、メーカーでは事象を把握しているケースもあるのではないかと思います。
一度確認してみてはどうでしょうか?