くれないぶた さん、こんにちは。
Microsoft コミュニティをご利用いただき、ありがとうございます。
Mini Display から HDMI へ変換して外部出力を行うとうまくいかないとのことですね。
ちなみに元々は問題なく出力ができておりましたでしょうか?
また、信号がないとしてスリープ切り替わるとなると、利用されている変換アダプターに問題がある可能性もありますので、他の機器でもマルチモニターとしてご利用いただけるかお試しいただけますと幸いでございます。
また、よろしければ下記操作にて改善があるかお試しください。
【ディスプレイのリフレッシュレート変更手順 】
手順 1 : [ Windows キー ] + [ I ] にて設定を表示し、システムをクリックします。
手順 2 : [ ディスプレイ ] をクリックし、[ マルチディスプレイ ] 下部の [ ディスプレイの詳細設定 ] をクリックします。
手順 3 : [ ディスプレイの選択 ] より、該当のディスプレイをプルダウンメニューよりクリックします。
手順 4 : [ ディスプレイ名のアダプターのプロパティを表示します ] の青文字をクリックし、[ モニター ] タブをクリックします。
手順 5 : [ モニター設定 ] より [ 画面のリフレッシュレート( S )] のプルダウンメニューをクリックし [ 60 ] をクリックします。
手順 6 : [ Windows キー ] + [ P ] にて [ 拡張 ] または [複製 ] に切り替え改善があるかお試しいただきます。
【 強制終了 】
※ 電源アダプター以外の周辺機器 ( Micro SD やキーボード等 ) を外して、以下の手順をお試し願います。
手順 1 : 電源ボタンを 30 秒間以上長押して Surface の強制終了を行ってください。
手順 2 : 電源ボタンをもう一度押して Surface の電源を入れます。
こちらを行っていただいた上で、動作確認をしていただきますようお願いいたします。
ご不明な点がございましたら、返信にてお知らせください。
よろしくお願い致します。