>真っ黒な画面のまま何も映りません。
AQUOS は使った事がないので分からないのですが、たとえばケーブルを後から繋ぐと映るとの事ですが、その時ケーブルを抜いたり PC の電源を切った場合でも何もメッセージ("NO SIFNAL" など)は出ませんか?
>AQUOSに繋いだままPCの電源を入れたあとだと、LGのモニタに繋ぎ直しても反応はありません。
と言う事は、アナログ出力されていないという事ですね。
Inspiron 546 のスペック表を見てみると、標準では映像出力はチップセット統合のグラフィックコントローラで mini D-Sub15pin x1, HDMI x1 のようですが、他の構成を選ぶと DVI も付くようです。
少し前にここで映像出力端子の識別番号が変わってしまう、というスレッドが立った時にコメントする為に調べてみたのですが、起動時にデバイスを見失う時に起こる現象のようで、今回も起動時に問題が発生している可能性があるかと思います。
アナログ端子にケーブルが繋がっている場合にはそれを認識するものの、何らかの原因で映像出力出来ないと判断し、瞬時にアナログ出力を停止し、DVI 又は HDMI の方へ切り替えるのかも知れません。
両方の端子にケーブル接続がな場合は、そのような現象が発生しない為に後からケーブルを挿すと映る、という事のように思えます。
それが何故かは分かりませんが、ケーブル不良の可能性もあるかも知れませんので、LG の方のケーブルと換えてみるのも一つの切り分け方法と言えます。
恐らく、HDMI 接続すれば解決するのでしょうが、ケーブルが届く前に他の事を試すならば、グラフィックドライバの更新や、(構成によりますが)BIOS でのオンボードグラフィックとグラフィックカード選択(どちらか一方の無効化)なども行ってみたら如何でしょうか。