>Windows10のProduct-Keyがあれば、何語のWindows10でもインストール可能でしょうか?
可能です。
>別に韓国語Windows10を購入しないといけないのでしょうか?
購入の必要はありません。
>日本語Windowsの言語を韓国語に変更するのと違うのでしょうか?
基本的には同じです。
ただし、一部日本語表記のままだったり、キーボード配列が上手くいかなかったりするかもしれません。
まずは、Windows の再インストールはせずに、言語の切り替えで韓国語にしてみましょう。
それで開発環境で問題が出るのであれば、再インストールの際に韓国語を選んでみるというのがいいと思います。