レジストリーで確認することはできます。
下の「UserChoice」の右ペインにある[ProgId]のデーターにブラウザーが表示されます。
HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Windows\Shell\Associations\UrlAssociations\http\UserChoice
下図はGoogle Chromeを既定のブラウザーにしていますので【ChromeHTML】になっていますが、設定から既定のブラウザーをMicrosoft Edgeに変更したら【MSEdgeHTM】に変わりました。
値のデータをMSEdgeHTMに書き換えようとしてもエラーが出てできませんでした。
何か方法があるのかもしれませんが、下のサイトの「検証パターン2」にあるように無理なのかもしれません。