そのPCはHaswell世代のLIFEBOOKですが、過去にwindows10をダウンロードしたことがあります。
Haswell だと、第4世代なので、Windows8.1 時代の PC でしょうか? Windows8 以降の PC では、マザーボード(UEFI BIOS)にプロダクトキーが登録されているため、通常はプロダクトキーのシールはありません。Windows7 へのダウングレードモデルでしょうか? 現在では、Windows7/8/8.1 から Windows10 へのアップグレードは、できません。Windows10 にはなりますが、未認証の状態になるためです。
「ダウンロード」が、無償アップグレード期間に Windows10 にアップグレードし、ネットにつないで認証済みにしていたのなら、デジタルライセンスが存在するはずです。同じエディションの Windows10 をインストールし、ネットに接続するだけで認証されます。認証されないとすると、エディションが異なるか、Windows が同じ PC と認識出来ないハードウェアの変更がされていることになります。インストールしたのが、Home であれば、試しに Pro をプロダクトキーの入力をスキップしてインストールしてみてください。ダウングレードモデルなら Pro だと思いますので。
Windows10 にした後、元の Windows に戻して使用していて、PC を修理してマザーボード交換がされてたりすると、Windows は別の PC と認識するため、デジタルライセンスが使えません。その場合は、nanashi-san の書いている Microsoft アカウントにリンクしたデジタルライセンスがあれば、オンラインで認証可能です。電話認証の自動応答は多分使えないと思います。対人でのサポートに電話して、当たりの担当者であれば、認証可能になる可能性があるというような話がネットにありました。もしかしたら、時間が経って対応が統一されているかもしれません。今年の9月末以降、ライセンス認証サーバーの仕様が色々変わって混乱していましたので。