一例ですが、ロジクール製のマウスは
Logicool Optionsカスタマイズ ソフトウェアをダウンロード
こういったソフトが提供されていて色々カスタマイズ可能です。
おそらく、前のマウスではそういったソフトの提供があり設定できたのかと思われます。
今の新しいマウスにもそういったカスタマイズソフトがあるのかどうかをマウスのメーカーサイトや機種のサイトから確認してみてはいかがでしょうか。
そういったメーカー公式のものがなければ、(存在するかはわかりませんが)カスタマイズのフリーソフトを探す手もあるかもしれません。