Outlook.com での電子メールの送信、受信、整理
>二回目のクリック(Sign out)でMSNホームページに変わることもあれば、
>三回ぐらい Inbox画面に戻ることもあります。
IE11やEdgeでのアクセスではどうなのですか?同じですか?
Microsoft標準ブラウザで問題ない場合、Window10とFirefoxとの組み合わせに何かわからない障害があるとか…。
もし、Win10PC以外にPCをお持ちなら、そちらではどうなのか検証してみる、とか出来るのですがね。
PS:どうもFirefoxの動作が可怪しい?と感じるのなら、「トラブルシューティング情報」内から「リセット」してみて下さい。