遅くなりました。
メールアドレスに送受信などの問題はありませんでした。
そして、スマホのメールアプリを分けることで改善されました。
一つのメールアプリにMicrosoft以外の2つも登録していたので同期が追い付かないのかよくわかりませんが、そのために即時同期ができていないと感じました。
今は5つのアカウントを、スマホ既存のアプリと、Gmailアプリにアカウントを分けて登録することでプッシュ通知が受け取れるようになりました。
認証画面がすぐに消えなかったのは特に問題なかったようです。
以上改善報告でした