組織内での困りごとは、まず組織のIT管理者に相談しましょう。
IT管理者は、あなたのメール環境を熟知しているので速やかに解決してくれる筈です。
(あなたの環境などを的確に補足説明出来ないと、時間と労力を無駄にするだけで
解決出来ないケースもあり得ます。)
> One Drive個人用フォルダを更新中
個人向けOneDriveでしょうか? 組織向けOneDrive for Businessでしょうか?
組織向けであればIT管理者に相談して下さい。
> OutlookからEメールが送信できなくなっています
アプリの種類・バージョン・ビルドは何ですか?
どこのメールサービスを利用されていますか?
メールアドレスのドメイン(@より後ろの部分、法人名はマスキング)は、何ですか?
メールの接続方式は何ですか? (Exchange接続、IMAP接続、POP接続)
メールサービス側が新しいOutlookでの設定方法を公開していましたか?
メールサービス側から設定方法が公開されていなければ諦めた方が良いかと思います。
メールサービス側は、OAuth2による認証方式になっていますか?
メールサービス側が海外(Microsoft)からのアクセスを許容していますか?
上記などをクリア出来ないようでしたら、従来のOutlook(Microsoft365など)を利用して下さい。
下記ですよね。

新しいOutlookでは、Microsoftのクラウド側からメール送信しますのでOneDriveの影響は受けません。
あなたのメール環境そのものが適切ですか?
どの様に送信出来ない事を確認したのか具体的な補足説明をして下さい。
エラーはありますか?