Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
Office 2010 本体 および Office ナビ 2010 の両方とも 32bit 版 → 64bit 版に更新をされたということでしょうか?
デスクトップのガジェットへの追加に関しては、下記情報の注意事項に書かれているような内容の動作にならないということですか。
こちらでは 64bit 版の Office 2010 および Office ナビ 2010 は未使用なので確証はありませんが、コントロールパネルからのアンインストールでは、一部のコンポーネントやレジストリが残ったままになるようなので、何か影響でもあるのかもしれませんね。
一度 Office 2010 を下記の Fix it を利用して削除してから再インストールを行ってみてはどうでしょうか。
Office 2003、Office 2007 または Office 2010 スイートをコントロール パネルからアンインストールできない場合のアンインストール方法