Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
ボリュームライセンスではなく普通のパッケージ版Visio2003で、現在のパソコンでライセンス認証をおこなっているのであれば新しいパソコンではインターネット経由でのライセンス認証がエラーになる可能性がありますので、その場合には電話での認証になります。
また、特殊な場合を除きライセンス上2台のパソコンへのインストールは許可されないので、現在お使いのパソコンからVisio2003をアンインストールし、新しいパソコンにインストールしてから、新しいパソコンでライセンス認証を行います。
[参考]
Office 2003 でライセンス認証を行う方法
http://support.microsoft.com/kb/881276/ja
Visio 2002 または Visio 2003 の永久ライセンスのライセンス認証を行う方法