データの分析、グラフ作成、および通信のためのツールを備えた Microsoft 表計算ソフトウェアのファミリ。
Excel2003のブックは拡張子がxlsですので、2013をインストールしても、xlsxのものとアイコンは異なっているのは正常です。
ただし、2007ので作成したxlsxは2013のものと区別はできません。
ですから、2007のブックが異なるアイコンで表示され、ダブルクリックした場合の動作も同じはずで、おっしゃっている症状は聞いたことがない不可思議なものです。
そういうことですので、以下のコメントは推測に基づくヤマ勘ですので、ご承知置き願います。
ダブルクリックした場合起動させる部分の設定は拡張子の関連付けにかんするものですので、Windowsの方の機能です。
ただし、Excelをインストールした場合、関連付けが洗い替えられるはずですので、Excel2013をインストールした時ちゃんとされるはずだったわけですが、インストールがどこかで失敗したものと推測します。
ヤマ勘の解決策として、Excel2013の修復新ストールをしてみて下さい。
コントロールパネル⇒プログラム⇒Office2013を選択し、Office2013を選択して、右クリック⇒変更
ここで出てくるダイアローグで修復を選んでください。
これでダメな場合、Office全体をアンインストールして再インストールしてみて下さい。
それでもダメな場合はWindowsの方にも問題がある可能性があることになります。