Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
Office 2016 の正式な製品名は何でしょうか。(Office 2016 Home and Business Premium など)
初回のセットアップで使用した Microsoft アカウントを使用して、マイアカウントページにアクセスし、紐づけされた該当の Office 製品が表示されていますか。
表示される場合は、付属のプロダクトキーではなく、インストール用のプロダクトキーおよび[再インストール] になると思います。
PC の修理した内容によると思いますが、マザーボードなどの交換を行っている場合は認証されない場合があるようなので、Microsoft のサポート窓口 に問い合わせたほうが良いと思います。