ページ レイアウトとグラフィック デザインに重点を置いた Microsoft のデスクトップ パブリッシング アプリケーション。
新しい PC へのインストールは 3台目となってしまうので、電話によるライセンス認証が必要になります。
画面が破損した古い PC が操作可能であれば、その PC からPublisher 2016 をアンインストールしてから、インストール時に使用した Microsoft アカウントでマイアカウントページにサインインして新しい PC にインストールし、ライセンス認証ウィザードに表示されるライセンス認証窓口に電話をして手続きをすれば使用可能になります。
単体製品の認証手続きに関する情報が見当たらないですが、以下の「別の PC で Office 2013 のライセンス認証を行う」と同じ方法になると思います。
Office 365 Solo または Office 2013 のライセンス認証を行う
別の PC にインストールしたい場合は、既存のものを "非アクティブ化" をすれば良かったんですね。