プレゼンテーションを作成し、マルチメディア オブジェクトやテキストによる特殊効果などのグラフィック効果を追加するためのツールを提供する Microsoft プレゼンテーション グラフィック製品のファミリ。
Windows 7 で Office 2007~2016 の32bit版のを共存環境がありますが、古いバージョンから普通にインストールをしただけです。
2007~2013 は MSI インストール、2016 のみ C2R (Click to Run) インストールです。
普通にインストールすると 32bit版がインストールされます。
64bit版をインストールする場合は、インストールを行う初めの段階で 64bit版を指定する操作が入ります。
PowerPoint 2010 と Office 2016 をインストールする方式が、MSI と C2R の異なる方式と思いますので、一度 PowerPoint もアンインストールをして、元の状態のように C2R の Office 2016 を先に再インストールしてから PowerPoint 2010 をインストールしてみてはどうでしょう。
数年前、Office 2013 と以前のバージョンの組み合わせで、古い順で行うとエラーとなって、反対の順に行ってインストールできた事例があったようです。
参考情報: 異なるバージョンの Office を同じ PC にインストールして使う
メール添付の PowerPoint ファイルについては、ディスクに保存しても開けないのでしょうか。
そのファイルの拡張子は、.pptx と .ppt のどちらなのでしょう。
.ppt は問題なく開くことができ、.pptx 形式も[ファイル]タブ→開くで開けるようなら、.pptx の関連付けが違っているように思います。
インストールされているバージョンが 32bit版、64bit版のどちらか確認するには、以下の2通りの方法があります。
・PowerPoint 2010 のある場所 (MSI インストールの場合)
以下のいずれかのフォルダー内に、POWERPNT.EXE の実行ファイルが存在します。
C:\Program Files\Microsoft Office\Office14 にある場合は 64bit版
C:\Program Files (x86)\Microsoft Office\Office14 にある場合は 32bit版
または
PowerPoint を起動して、[ファイル]タブ→ヘルプで表示される [バージョン情報] の表示で確認できます。
・Office 2016 のある場所 (C2R インストールの場合)
以下のいずれかのフォルダー内に、EXCEL.EXE、WINWORD.EXE などの実行ファイルが存在します。
C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office 16 にある場合は 64bit版
C:\Program Files (x86)\Microsoft Office\root\Office 16 にある場合は 32bit版
または
いずれかのアプリを起動して、[ファイル]タブ→アカウントで表示される [バージョン情報] の表示で確認できます。