Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
ライセンス認証を行うと、『ライセンス認証回数が上限に達しているためライセンス認証を実行できません』と表示されるということですね。
PCを2台所有とのことですが、購入したPCに付属のプレインストールされていた Officeは、付属のPCだけでのみ使用可能なライセンスとなっていますので、別のPCに付属していた Office を再インストールしているように思います。
古いPC は Office 2013 で、新しい PC は Office 2016 とのことですが、それぞれの PC 用の Office の正式な製品名の確認が必要です。
古いPC用の Office
・Office が Home & Business 2013、Personal 2013 などのプレインストール版は、Microsoft アカウントと紐づけされませんので、再インストールするには付属のプロダクトキーを使用して行います。
・Office Home & Business Premium (2013版) の場合、最新の 2016 自動でアップグレードされ、Microsoft アカウントに紐づけされますので、再インストールはマイアカウントページから行います。
新しいPC用の Office
・Office が Home & Business 2016、Personal 2016 、または Office Home & Business Premium などのプレインストール版は、Microsoft アカウントと紐づけされますので、再インストールはマイアカウントページから行います。
古いPCと新しいPCのどちらも Office Premium の場合は、マイアカウントページには 2 つ製品が表示されていると思います。
これらを判断するためには、プロダクトキーのパッケージに記載の正式な製品名の確認とプレインストール版/パッケージ版の区別が必要です。
なお同一のユーザーが、1 つの製品で 2 台のPCで使用できる Office は、PCに付属ではなく、別に購入したパッケージ版/ダウンロード版の場合です。