Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
まずプロダクトキーの紛失は基本的に「再発行」はありません。
あるとするとMicrosoftが発売している「Surface」で購入直後でMicrosoftが要求する「販売証明」があって再発行された例がありますが、「DynabookT55」はWindows8.1時代の古い機種でありPC本体もメーカー保証が切れていると思います。
スタンダードノートPC dynabook T75・T55 > 仕様
タイトルがOffice2016になっていますが、上記のメーカーHPだと「Microsoft Office Home and Business 2013」がプレインストールされていると記載されています。
「Microsoft Office Home and Business 2013」の再インストール・インストールにはプロダクトキーが必須です。古い時代のPCだと「インストールディスク」を捨ててしまったのと同じことになります。
結論としてあきらめてください。
また今更Office単体製品を購入してもPCの寿命が明らかにやってきます。