양자 컴퓨팅을 위한 선형 대수

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선형 대수는 양자 컴퓨팅의 언어입니다. 양자 프로그램을 구현하거나 작성하기 위해 알 필요는 없지만, 큐비트 상태와 양자 연산을 설명하고 양자 컴퓨터가 일련의 명령에 응답하여 수행하는 작업을 예측하는 데 널리 사용됩니다.

양자 물리학의 기본 개념을 익히는 것이 양자 컴퓨팅을 이해하는데 도움이 되는 것처럼 몇 가지 기본적인 선형 대수를 알면 양자 알고리즘의 작동 방식을 이해하는 데 도움이 됩니다. 적어도 벡터 및 행렬 곱에 익숙해져야 합니다. 이러한 대수 개념에 대한 지식을 새로 고쳐야 하는 경우 기본 사항을 다루고 있는 몇 가지 자습서는 다음과 같습니다.

양자 컴퓨팅의 벡터 및 행렬

큐비트가 1 또는 0 상태이거나 중첩이거나 둘 다일 수 있습니다. 선형 대수를 사용하여 큐비트의 상태는 벡터로 설명되며 단일 열 행렬$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$로 표시됩니다. 양자 상태 벡터라고도 하며 a|^2 + |b|^2 = 1$ 요구 $|사항을 충족해야 합니다.

행렬의 요소는 큐비트가 한 방향으로 또는 다른 방향으로 축소될 확률을 나타내며, a^2$는 0으로 $|축소될 확률이고 $|b|^2$는 1로 축소될 확률입니다.| 다음 행렬은 모두 유효한 양자 상태 벡터를 나타냅니다.

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} 및{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} 양자 연산은 행렬로도 나타낼 수 있습니다. 양자 연산이 큐비트에 적용되면 이를 나타내는 두 개의 행렬을 곱하고 결과 답에서 연산 후의 새 큐비트 상태를 나타냅니다.

다음은 행렬 곱으로 나타내는 두 가지 일반적인 양자 연산입니다.

작업은 X Pauli 행렬 $X$로 표시됩니다.

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

그리고 큐비트 상태를 0에서 1로(또는 반대로) 대칭 이동하는 데 사용됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

작업은 H Hadamard 변환 $H$로 표시됩니다.

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

그리고 아래와 같이 큐비트를 어느 한 쪽으로 붕괴될 확률이 동일한 중첩 상태로 전환합니다.

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

$|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$는 0과 1 상태로 축소할 확률이 동일하다는 것을 의미합니다.

양자 연산을 나타내는 행렬에는 단위 행렬이어야 한다는 한 가지 요구 사항이 있습니다. 역 행렬이 행렬의 켤레 전치(conjugate transpose) 와 같으면 해당 행렬은 단위 행렬입니다.

2개 큐비트 상태 표현

위의 예제에서 하나의 큐비트의 상태는 단일 열 행렬 $\begin{bmatrix}\\ a b \end{bmatrix}$를 사용하여 설명되었으며, 두 행렬을 곱하여 연산을 적용하는 방법을 설명했습니다. 그러나 양자 컴퓨터는 둘 이상의 큐비트를 사용하므로 두 큐비트의 결합된 상태는 어떻게 설명할까요?

참고

양자 컴퓨팅의 진정한 힘은 여러 큐비트를 활용하여 계산을 수행하는 데서 비롯됩니다. 이 항목에 대한 자세한 내용은 여러 큐비트에 대한 작업을 참조하세요.

각 큐비트는 벡터 공간이므로 곱할 수는 없습니다. 대신 개별 벡터 공간에서 새 벡터 공간을 만들고 기호로 표시되는 $\otimes$ 관련 작업인 텐서 제품을 사용합니다. 예를 들어 두 큐비트의 $\begin{bmatrix} 텐서 곱은 b \end{bmatrix}$ 와 $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ 가 \\ 계산됩니다.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

결과는 각 요소에서 확률을 나타내는 4차원 행렬입니다. 예를 들어 ac $$ 는 두 큐비트가 0과 0으로 축소되는 확률이며, $광고$의 확률은 0과 1입니다.

단일 큐비트 상태와 마찬가지로 b \end{bmatrix}$ 는 양자 상태를 \\$\begin{bmatrix} 나타내기 위해 a|^2 + |b|^2 1$ 요구 사항을 $|충족해야 합니다. 2 = 큐비트 상태 $\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ 는 ac|^2 + ad|^2 + |bc|^2+ ||bd|^2 = 1$ 요구 사항을 $|충족해야 합니다.

요약

선형 대수는 양자 컴퓨팅과 양자 물리학을 설명하기 위한 표준 언어입니다. Microsoft Quantum Development Kit 에 포함된 표준 라이브러리를 사용하면 기본 수학을 살펴보지 않고 고급 양자 알고리즘을 실행하는 데 도움이 되지만 기본 사항을 이해하면 빠르게 시작하고 빌드할 수 있는 견고한 기반을 제공하는 데 도움이 됩니다.

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