Bewerkingen op meerdere qubits

  • Artikel

In dit artikel worden de regels besproken die worden gebruikt om statussen met meerdere qubits te bouwen op basis van statussen met één qubit en worden de gatebewerkingen besproken die nodig zijn om op te nemen in een gateset om een universele kwantumcomputer met veel qubits te vormen. Deze hulpprogramma's zijn nodig om inzicht te krijgen in Q# de poortsets die vaak in code worden gebruikt. Ze zijn ook belangrijk om intuïtie te krijgen over waarom kwantumeffecten, zoals verstrengeling of interferentie, kwantumcomputing krachtiger maken dan klassieke computing.

Poorten met één qubit versus poorten met meerdere qubits

De ware kracht van kwantumcomputing wordt pas duidelijk als u het aantal qubits verhoogt. Enkele qubits beschikken over een aantal contra-intuïtieve functies, zoals de mogelijkheid om zich op een bepaald moment in meer dan één toestand te bevinden. Als een kwantumcomputer echter alleen poorten met één qubit had, dan zou een rekenmachine en zeker een klassieke supercomputer de rekenkracht in de weg liggen.

Kwantumcomputingskracht ontstaat deels omdat de dimensie van de vectorruimte van kwantumtoestandvectoren exponentieel toeneemt met het aantal qubits. Dit betekent dat hoewel een enkele qubit triviaal kan worden gemodelleerd, het simuleren van een kwantumberekening van vijftig qubits de grenzen van bestaande supercomputers zou kunnen verleggen. Het vergroten van de grootte van de berekening met slechts één extra qubit verdubbelt het geheugen dat nodig is om de status op te slaan en verdubbelt ongeveer de rekentijd. Deze snelle verdubbeling van rekenkracht is de reden waarom een kwantumcomputer met een relatief klein aantal qubits de krachtigste supercomputers van vandaag, morgen en verder voor sommige rekentaken ver kan overtreffen.

Statussen met twee qubits

Als u twee afzonderlijke qubits krijgt, één in de status $\psi=\begin{bmatrix}\end{bmatrix}$\\\beta\alphaen de andere in de status $\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\gamma\end{bmatrix}$, wordt de bijbehorende toestand van twee qubits gegeven door het tensorproduct (of Kronecker-product) van vectoren, dat als volgt wordt gedefinieerd

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\\\beta\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\gamma\\\alpha\delta\\\beta\gamma\\\beta\delta\end{bmatrix}. $$

Daarom is, gezien twee statussen $\psi$ met één qubit en $\phi$, elk van dimensie 2, de bijbehorende twee-qubitstatus $\psi\otimes\phi$ 4-dimensional. De vector

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

vertegenwoordigt een kwantumstatus op twee qubits als

$$|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{{10}|^2+|\alpha_{{11}|^2=1.$$

Meer in het algemeen kunt u zien dat de kwantumtoestand van $n$ qubits wordt vertegenwoordigd door een eenheidsvector $v_1 \otimes v_2\cdots\otimes\otimes v_n$ van dimensie $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots= 2^n$ met behulp van deze constructie. Net als bij enkele qubits bevat de kwantumstatusvector van meerdere qubits alle informatie die nodig is om het gedrag van het systeem te beschrijven. Zie Vectoren en matrices in kwantumcomputing voor meer informatie over vectoren en tensorproducten.

De rekenkundige basis voor toestanden met twee qubits wordt gevormd door de tensorproducten van basistoestanden met één qubit. U hebt bijvoorbeeld

\begin{align}00 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1 0 0 0 , 01 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}0 \\ 1=\begin{bmatrix}\end{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\\ 10 \equiv\begin{bmatrix}0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&\begin{bmatrix}=\qquad\end{bmatrix}\\\\\\0 0 1 0 , 11\begin{bmatrix}\equiv 0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 0\\ 0\\ 1 .\end{bmatrix}\qquad\end{bmatrix}\\\\\\ \end{align}

Hoewel u altijd het tensorproduct van twee statussen met één qubit kunt gebruiken om een toestand met twee qubits te vormen, kunnen niet alle kwantumtoestanden met twee qubits worden geschreven als het tensor-product van twee toestanden met één qubit. Er zijn bijvoorbeeld geen staten $\psi=\begin{bmatrix}\alpha\beta\end{bmatrix}$\\en\gamma$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\end{bmatrix}$ zodanig dat hun tensorproduct de staat is

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}1/\sqrt{{2}\\ 0 \\ 0 \\ 1/.\sqrt{{2}\end{bmatrix}$$

Een dergelijke toestand met twee qubits, die niet kan worden geschreven als het tensor-product van statussen met één qubit, wordt een " genoemd; verstrengelde toestand"; de twee qubits worden als verstrengeld beschouwd. Losjes gezegd, omdat de kwantumstatus niet kan worden beschouwd als een tensorproduct van één qubitstatus, is de informatie die de status bevat niet beperkt tot een van de afzonderlijke qubits. In plaats daarvan wordt de informatie niet-lokaal opgeslagen in de correlaties tussen de twee statussen. Deze niet-lokaliteit van informatie is een van de belangrijkste onderscheidende kenmerken van kwantumcomputing ten opzichte van klassieke computing en is essentieel voor een aantal kwantumprotocollen, waaronder kwantumfoutcorrectie.

Twee qubitstatussen meten

Het meten van toestanden met twee qubits is vergelijkbaar met met metingen met één qubit. De status meten

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

geeft $00$ met kans $|\alpha_{00}|{^2$, $01$ met kans $|\alpha_{01}|^2$, $10$ met kans $|\alpha_{{10}|^2$ en $11$ met kans $|\alpha_{11}|^2.$ De variabelen $\alpha_{00}, \alpha_{01}{, \alpha_{10}{en$$\alpha_{11}$ zijn opzettelijk benoemd om deze verbinding duidelijk te maken. Als het resultaat na de meting 00$is$, is de kwantumstatus van het systeem met twee qubits samengevouwen en is nu

$$ 00 \equiv\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

Het is ook mogelijk om slechts één qubit van een kwantumstatus met twee qubits te meten. Wanneer u slechts één qubit van een toestand met twee qubits meet, is de impact van de meting subtiel anders dan het meten van twee qubits. Dit komt doordat de hele status niet wordt samengevouwen tot een rekenkundige basisstatus, maar wordt samengevouwen tot slechts één subsysteem. Met andere woorden, het meten van één qubit van een toestand van twee qubits vouwt het gerelateerde subsysteem alleen samen tot een rekenkundige basisstatus.

Om dit te zien, kunt u overwegen om de eerste qubit van de volgende toestand te meten, die wordt gevormd door het toepassen van de Hadamard-transformatie $H$ op twee qubits die aanvankelijk zijn ingesteld op het " 0" staat:

$$H^{\otimes 2\left}( \begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right){1}{2}\begin{bmatrix}\frac{= 1 & 1 & 1 &1 \\& -1 amp; -&1 & -1 1 amp; -1 \\ 1 & &-1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0 1\frac{\end{bmatrix}={1}{2}\begin{bmatrix}\\ 1\\ 1 1\\ 1 1\end{bmatrix}\mapsto\begin{cases}\text{resultaat }=0 & \frac{{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\text{resultaat }=1 & \frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\\\end{cases}. $$ Beide resultaten hebben een kans van 50%. Dat kan worden afgeleid van het feit dat de kwantumtoestand vóór de meting niet verandert als $0$ wordt gewisseld met $1$ op de eerste qubit.

De wiskundige regel voor het meten van de eerste of tweede qubit is eenvoudig. Laat e_k de k^{\rm th}$ rekenkundige basisvector zijn en $S$ de set van alle $e_k$ zijn, zodat de qubit in kwestie de waarde $1$ voor die waarde van $k$ neemt.$$$ Als u bijvoorbeeld de eerste qubit $wilt meten, bestaat S$ uit $e_1\equiv 10$ en $e_3\equiv 11$. Als u geïnteresseerd bent in de tweede qubit $, bestaat S$ uit $e_2\equiv 01$ en $e_3 \equiv 11$. Vervolgens is de waarschijnlijkheid van het meten van de gekozen qubit op $1$ voor de statusvector $\psi$

$$P(\text{resultaat}=1)\sum=_{e_k \text{ in de set } S}\psi^\dagger e_k e_k^\dagger\psi. $$

Notitie

In dit artikel wordt de indeling little-endian gebruikt om de rekenkundige basis te labelen. In little endian-indeling komen de minst significante bits op de eerste plaats. Het getal vier in de little-endian-notatie wordt bijvoorbeeld vertegenwoordigd door de tekenreeks van bits 001.

Omdat elke qubitmeting slechts 0 of 1 kan opleveren$, is de kans op het meten $van 0$ gewoon $1-P(\text{resultaat}=1)$.$$$ Daarom hebt u alleen een formule nodig voor de waarschijnlijkheid van het meten $van 1$.

De actie die een dergelijke meting op de status heeft, kan wiskundig worden uitgedrukt als

$$\psi\mapsto\frac{\sum_{e_k \text{ in de set } S} e_k e_k^\psi}{\sqrt{\daggerP(\text{resultaat}=1)}}. $$

De voorzichtige lezer kan zich zorgen maken over wat er gebeurt als de noemer nul is. Hoewel een dergelijke status niet is gedefinieerd, hoeft u zich geen zorgen te maken over dergelijke eventualiteiten, omdat de waarschijnlijkheid nul is.

Als u de $\psi$ hierboven gegeven uniforme toestandsvector neemt en geïnteresseerd bent in het meten van de eerste qubit, dan

$$P(\text{meting van eerste qubit}=1) = (\psi^\dagger e_1)(e_1^\psi\dagger)+(\psi^\dagger e_3)(e_3^\dagger\psi)=|e_1^\dagger\psi|^2+|e_3^\dagger\psi|^2. $$

Houd er rekening mee dat dit slechts de som is van de twee waarschijnlijkheden die worden verwacht voor het meten van de resultaten $10$ en $11$. Voor ons voorbeeld wordt dit geëvalueerd als

$$\frac{{1}{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\right|^2+\frac{1}{{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 0& 1 1 1 1 1 1\end{bmatrix}\right|^2=\frac{{2}{1}{.\\\\\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

wat perfect aansluit bij onze intuïtie. Op dezelfde manier kan de status na de eerste qubit als 1$ worden geschreven $als

$$\frac{\frac{}{2}e_1+\frac{e_3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$$

weer in overeenstemming met onze intuïtie.

Bewerkingen met twee qubits

Net als in het geval van één qubit is elke eenheidstransformatie een geldige bewerking op qubits. In het algemeen is een eenheidstransformatie op $n qubits een matrix $U$ met de grootte $2^n \times 2^n$ (zodat deze werkt op vectoren met de grootte $2^n$), zodanig dat $U^{-1}= U^\dagger$$. De CNOT-poort (controlled-NOT) is bijvoorbeeld een veelgebruikte poort met twee qubits en wordt vertegenwoordigd door de volgende eenheidsmatrix:

$$\operatorname{CNOT}=\begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\ 0 \\ 0\ 1\ 0\ 0 0 \\ \ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 0\ 1\ 0 \end{bmatrix}$$

We kunnen ook poorten met twee qubits vormen door poorten met één qubit toe te passen op beide qubits. Als u bijvoorbeeld de poorten toepast

$$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}$$

en

$$\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}$$

op respectievelijk de eerste en tweede qubits is dit gelijk aan het toepassen van de eenheidswaarde van twee qubits die door hun tensorproduct worden opgegeven: $$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimese\ f\\ g\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}$$

U kunt dus poorten met twee qubits vormen door het tensorproduct van enkele bekende single-qubit-gates te nemen. Enkele voorbeelden van poorten met twee qubits zijn $H \otimes H$, $X \otimes\mathbf{1}$en $X \otimes Z$.

Houd er rekening mee dat hoewel twee poorten met één qubit een poort met twee qubits definiëren door hun tensor-product te nemen, is het omgekeerde niet waar. Niet alle poorten met twee qubits kunnen worden geschreven als het tensorproduct van poorten met één qubit. Zo'n poort wordt een verstrengelende poort genoemd. Een voorbeeld van een verstrengelingspoort is de CNOT-poort.

De intuïtie achter een gecontroleerde poort kan worden gegeneraliseerd naar willekeurige poorten. Een gecontroleerde poort is in het algemeen een poort die als identiteit fungeert, tenzij een specifieke qubit 1$ is$. U geeft een beheerd unitair aan, in dit geval beheerd op de qubit met het label $x$, met een $\Lambda_x(U)$. Als voorbeeld $\Lambdavan _0(U) e_{1}\otimes{{\psi}=e_{1}\otimes U{\psi}$ en $\Lambda_0(U) e_{0}\otimes{\psi}={e_{{0}\otimes{\psi}$, waarbij $e_0$ en $e_1$ de rekenkundige basisvectoren zijn voor één qubit die overeenkomt met de waarden $0$ en $1.$ Denk bijvoorbeeld aan de volgende controlled-Z-poort$$, dan kunt u dit uitdrukken als

$$\Lambda_0(Z)=\begin{bmatrix}1& 0& 0& 0\\0& 1& 0& 0\\0& 0& 1& 0\\0& 0& 0&-1 \end{bmatrix}=(\mathbf\mathbf{1}\otimes{ H)\operatorname{CNOT}(\mathbf{1}\otimes H). $$

Het efficiënt bouwen van gestuurde unitaire eenheden is een grote uitdaging. De eenvoudigste manier om dit te implementeren, is het vormen van een database met gecontroleerde versies van fundamentele poorten en het vervangen van elke fundamentele poort in de oorspronkelijke eenheidsbewerking door de gecontroleerde tegenhanger. Dit is vaak behoorlijk verspillend en slim inzicht kan vaak worden gebruikt om slechts een paar poorten te vervangen door gecontroleerde versies om dezelfde impact te bereiken. Om deze reden biedt het framework de mogelijkheid om de naïeve controlemethode uit te voeren of de gebruiker toe te staan een beheerde versie van de unitaire te definiëren als een geoptimaliseerde, met de hand afgestemde versie bekend is.

Poorten kunnen ook worden beheerd met behulp van klassieke informatie. Een klassiek beheerde not-gate is bijvoorbeeld gewoon een gewone niet-poort, maar deze wordt alleen toegepast als een klassieke bit 1$ is $in plaats van een kwantumbit. In deze zin kan een klassiek beheerde poort worden beschouwd als een if-instructie in de kwantumcode, waarbij de gate slechts in één vertakking van de code wordt toegepast.

Net als in het geval van één qubit is een poortset met twee qubits universeel als een $4\times 4-eenheidsmatrix$ kan worden geschat door een product van poorten van deze set naar willekeurige precisie. Een voorbeeld van een universele poortset is de Hadamard-poort, de T-poort en de CNOT-poort. Door producten van deze poorten te nemen, kunt u elke eenheidsmatrix op twee qubits benaderen.

Kwantumverstrengeling

Houd rekening met twee qubits $A$ en $B$ in superposities, zodat de status van het globale systeem

$$\ket{\psi}_{AB}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$

In een dergelijke toestand zijn er slechts twee resultaten mogelijk als u de toestand van beide qubits in de standaardbasis meet: $|00\rangle$ en $|11\rangle$. U ziet dat elk resultaat dezelfde kans $\frac{1}{2}$van heeft. Er is geen kans op het verkrijgen $|van 01\rangle$ en $|10\rangle$. Als u de eerste qubit meet en u krijgt dat deze zich in $|de toestand 0\rangle$ bevindt, kunt u er zeker van zijn dat de tweede qubit ook de $|status 0\rangle$ heeft, zelfs zonder deze te meten. De uitkomsten van de meting zijn gecorreleerd en de qubits zijn verstrengeld.

Notitie

In dit voorbeeld worden twee qubits gebruikt, maar kwantumverstrengeling is niet beperkt tot twee qubits. Over het algemeen is het mogelijk dat systemen met meerdere qubits verstrengeling delen.

Verstrengelde qubits zijn zodanig gecorreleerd dat ze niet onafhankelijk van elkaar kunnen worden beschreven. Dat wil zeggen, welke bewerking er ook gebeurt met de status van een qubit in een verstrengeld paar, heeft ook invloed op de status van de andere qubit.

Zie de zelfstudie over kwantumverstrengeling met Q# en Azure Quantum voor een praktische implementatie.

Verstrengeling in pure toestanden

Pure kwantumtoestanden zijn toestanden die worden gekenmerkt door één ket-vector of golffunctie en kunnen niet worden geschreven als een statistische combinatie (of convexe combinatie) van andere kwantumtoestanden. Op de Bloch-bol worden zuivere toestanden vertegenwoordigd door een punt op het oppervlak van de bol, terwijl gemengde toestanden worden vertegenwoordigd door een binnenste punt.

Een zuivere toestand $\ket{\phi}_{AB}$ is verstrengeld als deze niet kan worden geschreven als een combinatie van productstatussen van de subsystemen, dat wil $\ket{\phi}weten _{AB}=\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$

Denk bijvoorbeeld aan de status \ket{\psi}$$_{AB}{1}{2}=\frac{ ({00}\ket{ + \ket{{10} +\ket{01} +)\ket{{11}$$

In eerste instantie ziet de status $\ket{\psi}_{AB}$ er niet uit als een productstatus, maar als we de status herschrijven als

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

de status $\ket{\psi}_{AB}$ is een productstatus en is daarom niet verstrengeld.

Verstrengeling in gemengde toestanden

Gemengde kwantumtoestanden zijn een statistisch geheel van zuivere toestanden. Een gemengde toestand $\rho$ heeft noch kwantum- noch klassieke correlaties als deze kan worden geschreven als een productstatus $\rho = \rho^{A}\otimes \rho^{B}$ voor sommige dichtheidsmatrices$\rho^{A\geq} 0 , \rho^{B}\geq 0.$

Een gemengde status $\rho$ is scheidbaar als deze kan worden geschreven als een convexe combinatie van productstatussen van de subsystemen, zoals

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_{j\otimes} \rho^{B}_{j}$$

waarbij $p_j 0, \sum p_j = 1$ en $\rho^{A}_{j\geq} 0, \rho^{B}_{j}\geq 0$.\geq

Een gemengde status $\rho$ is verstrengeld als deze niet scheidbaar is, dat wil gezegd, het kan niet worden geschreven als een convexe combinatie van productstatussen.

Tip

Een scheidbare status bevat alleen klassieke correlaties.

Klassieke correlaties begrijpen

Klassieke correlaties zijn te wijten aan ons gebrek aan kennis van de toestand van het systeem. Dat wil gezegd, er is enige willekeurigheid gekoppeld aan klassieke correlatie, maar deze kan worden geëlimineerd door kennis op te doen.

Denk bijvoorbeeld aan twee vakken met elk één bal. We weten dat beide ballen dezelfde kleur hebben, blauw of rood. Als we een doos openen en erachter komen dat de bal in blauw is, dan weten we dat de andere bal ook blauw is. Daarom zijn ze gecorreleerd. De onzekerheid die we hebben bij het openen van de doos is echter te wijten aan ons gebrek aan kennis, het is niet fundamenteel. De bal was blauw voordat we de doos openden. Dit is dus een klassieke correlatie, geen kwantumcorrelatie.

De gemengde kwantumstatus van het systeem dat wordt gevormd door de twee vakken $\rho_{vakken}$ kan worden geschreven als

$$\rho_{boxes}\frac{{1}{2}= (\ket{rood}\bra{rood}_{A\otimes\ket{}rood}}\bra{_B) +\frac{{1}{2} (\ket{blauw}\bra{_A \otimes\ket{}blauwblauw}\bra{}_B)$$

U ziet dat de status $\rho_{boxes}$ scheidbaar is, waarbij $p_1 = p_2 =\frac{1}{2}$ dan alleen klassieke correlaties bevat. Een ander voorbeeld van een gemengde scheidbare status is

$$\rho =\frac{{1}{2} (\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A{1}\otimes\ket{{1}\bra{ _B)$$

Bekijk nu de volgende status:

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + + \ket{{11}\bra{{11}\ket{11}\bra{00} ) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

In dit geval is onze kennis van de toestand perfect. We weten met maximale zekerheid dat het systeem $AB de status $\ket{\phiBell ^+}$ heeft en $\rho$ een$ zuivere toestand is. Daarom zijn er geen klassieke correlaties. Maar als we een waarneembaar op subsysteem $A$ meten, krijgen we een willekeurig resultaat dat ons informatie geeft over de status van het subsysteem $B$. Deze willekeurigheid is fundamenteel, namelijk kwantumcorrelaties.

Een voorbeeld van een kwantumstatus die zowel klassieke als kwantumcorrelaties bevat, is

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Tip

  • Als een verstrengelde toestand $\rho$ puur is, bevat deze alleen kwantumcorrelaties.
  • Als een verstrengelde status $\rho$ is gemengd, bevat deze zowel klassieke als kwantumcorrelaties.

Veel-qubitsystemen

We volgen precies dezelfde patronen die in het geval met twee qubits zijn verkend om kwantumstatussen met veel qubits te bouwen van kleinere systemen. Dergelijke toestanden worden gebouwd door tensor-producten van kleinere staten te vormen. U kunt bijvoorbeeld de bittekenreeks $coderen 1011001$ in een kwantumcomputer. U kunt dit coderen als

$$\equiv\begin{bmatrix} 1011001 0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 0 \end{bmatrix}\otimes\\\begin{bmatrix} 1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 .\end{bmatrix} $$

Kwantumpoorten werken op precies dezelfde manier. Als u bijvoorbeeld de $X-poort$ wilt toepassen op de eerste qubit en vervolgens een CNOT wilt uitvoeren tussen de tweede en derde qubits, kunt u deze transformatie uitdrukken als

\begin{\begin{align}&Amp; (X \otimes\operatorname{CNOT}_{{12}\otimes\mathbf{1}\otimes \mathbf{\otimes\mathbf{1} \mathbf{\mathbf{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes1 0 \\ 1 \\ 0\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\\&\qquad\qquad\equiv 0011001. \end{align}

In veel qubitsystemen is het vaak nodig om qubits toe te wijzen en de toewijzing ervan ongedaan te maken die als tijdelijk geheugen voor de kwantumcomputer dienen. Zo'n qubit wordt als hulp beschouwd. Standaard kunt u ervan uitgaan dat de qubitstatus is geïnitialiseerd op $e_0$ bij toewijzing. U kunt er verder van uitgaan dat het opnieuw wordt geretourneerd naar $e_0$ vóór de toewijzing van de deal. Deze veronderstelling is belangrijk omdat als een hulp-qubit verstrengeld raakt met een ander qubitregister wanneer de toewijzing ongedaan wordt gemaakt, het proces van deallocatie de hulp-qubit zal beschadigen. Daarom gaat u er altijd van uit dat dergelijke qubits worden teruggezet naar hun oorspronkelijke status voordat ze worden vrijgegeven.

Tot slot, hoewel er nieuwe poorten aan onze gateset moesten worden toegevoegd om universele kwantumcomputing voor twee qubit-kwantumcomputers te bereiken, hoeven er geen nieuwe poorten te worden geïntroduceerd in het geval van multi-qubits. De poorten $H$, $T$ en CNOT vormen een universele poortset voor veel qubits, omdat een algemene eenheidstransformatie kan worden opgesplitst in een reeks van twee qubitrotaties. Vervolgens kunt u gebruikmaken van de theorie die is ontwikkeld voor het geval met twee qubits en deze hier opnieuw gebruiken wanneer u veel qubits hebt.

Notitie

Hoewel de lineaire algebraïsche notatie die tot nu toe is gebruikt, zeker kan worden gebruikt om toestanden van meerdere qubits te beschrijven, wordt het steeds lastiger naarmate u de toestanden groter maakt. De resulterende kolomvector voor een lengte van 7-bits tekenreeks is bijvoorbeeld 128-dimensionaal$, waardoor het uitdrukken met behulp van de eerder beschreven notatie erg omslachtig is$. In plaats daarvan wordt de Dirac-notatie gebruikt, een symbolische afkorting die de weergave van kwantumtoestanden vereenvoudigt. Zie Dirac-notatie voor meer informatie.

Volgende stappen