Representação Matricial de Transformações

Uma matriz m×n é um conjunto de números organizados em m linhas e n colunas. A ilustração a seguir mostra diversas matrizes.

Você pode adicionar duas matrizes do mesmo tamanho ao adicionar elementos individuais. A ilustração a seguir mostra dois exemplos de adição de matriz.

Uma matriz m×n pode ser multiplicada por uma matriz n×p e o resultado é uma matriz m×p. O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Por exemplo, uma matriz 4x2 pode ser multiplicada por uma matriz 2×3 para produzir uma matriz 4×3.

Os pontos no plano e as linhas e as colunas de uma matriz podem ser pensados como vetores. Por exemplo, (2, 5) é um vetor com dois componentes e (3, 7, 1) é um vetor com três componentes. O produto escalar de dois vetores é definido da seguinte maneira:

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Por exemplo, o produto escalar (2, 3) e (5, 4) é (2)(5) + (3)(4) = 22. O produto escalar (2, 5, 1) e (4, 3, 1) é (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24. Observe que o produto escalar de dois vetores é um número e não outro vetor. Observe também que você pode calcular o produto escalar somente se os dois vetores tiverem o mesmo número de componentes.

Permita que A(i, j) seja a entrada na matriz A na iª linha e na jª coluna. Por exemplo, A(3, 2) é a entrada na matriz A na 3ª linha e na 2ª coluna. Suponha que A, B e C são matrizes e AB = C. As entradas de C são calculadas da seguinte maneira:

C(i, j) = (linha i de A) • (coluna j de B)

A ilustração a seguir mostra dois exemplos de multiplicação de matriz.

Se pensar em um ponto em um plano como uma matriz 1 × 2, você poderá transformar esse ponto multiplicando-o por uma matriz 2 x 2. A ilustração a seguir mostra várias transformações aplicadas ao ponto (2, 1).

Todas as transformações mostradas na figura anterior são transformações lineares. Outras transformações, como conversão, não são lineares e não podem ser expressas como multiplicação por uma matriz 2 x 2. Suponha que você deseja começar com o ponto (2, 1), girá-lo 90 graus, movê-lo em 3 unidades na direção x e 4 unidades na direção y. Você pode fazer isso usando uma multiplicação de matriz seguida por uma adição de matriz.

Uma transformação linear (multiplicação por uma matriz 2 x 2) seguida por uma tradução (além de uma matriz 1 × 2) é chamada de uma transformação afim. Uma alternativa ao armazenamento uma transformação afim em um par de matrizes (um para a parte linear e outro para a conversão) é armazenar a transformação toda em uma matriz 3 × 3. Para fazer esse trabalho, um ponto no plano deve ser armazenado em uma matriz 1 × 3 com uma 3ª coordenada fictícia. A técnica comum é fazer todas as terceiras coordenadas iguais a 1. Por exemplo, o ponto (2, 1) é representado pela matriz [2 1 1]. A ilustração a seguir mostra uma transformação afim (girar 90 graus; mover 3 unidades na direção x, 4 unidades na direção y) expressa como uma multiplicação por uma matriz única 3 × 3.

No exemplo anterior, o ponto (2, 1) é mapeado para o ponto (2, 6). Observe que a terceira coluna da matriz 3 × 3 contém os números 0, 0, 1. Isso será sempre o caso para a matriz 3 × 3 de uma transformação afim. Os números importantes são os seis números nas colunas 1 e 2. A parte 2 × 2 esquerda superior da matriz representa a parte linear da transformação e as duas primeiras entradas na 3ª linha representam a conversão.

No GDI+ você pode armazenar uma transformação afim em um Matrix objeto. Como a terceira coluna de uma matriz que representa uma transformação afim é sempre (0, 0, 1), você especifica apenas os seis números nas duas primeiras colunas ao construir um Matrix objeto. A instrução Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) constrói a matriz mostrada na figura anterior.

Transformações de composição

Uma transformação de composição é uma sequência de transformações, uma seguida da outra. Considere as matrizes e transformações na lista a seguir:

Matriz	Transformação
Matriz A	Girar 90 graus
Matriz B	Dimensionar por um fator de 2 na direção x
Matriz C	Mover 3 unidades na direção y

Se começar com o ponto (2, 1) — representado pela matriz [2 1 1] — e multiplicar por A, em seguida, B e C, o ponto (2, 1) passará as três transformações na ordem listada.

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

Em vez de armazenar as três partes da transformação de composição em três matrizes separadas, você pode multiplicar A, B e C juntos para obter uma única matriz 3 × 3 que armazena a transformação de composição inteira. Suponha que a ABC = D. Em seguida, um ponto multiplicado por D fornece o mesmo resultado que um ponto multiplicado por A, B e, em seguida, C.

[2 1 1]D = [-2 5 1]

A ilustração a seguir mostra as matrizes A, B, C e D.

O fato de que a matriz de uma transformação composta pode ser formada multiplicando as matrizes de transformação individuais significa que qualquer sequência de transformações afins pode ser armazenada em um único Matrix objeto.

Cuidado

A ordem de uma transformação de composição é importante. Em geral, girar, dimensionar e converter não é o mesmo que dimensionar, girar e converter. Da mesma forma, a ordem de multiplicação de matriz é importante. Em geral, ABC não é o mesmo que BAC.

A Matrix classe fornece vários métodos para criar uma transformação composta: Multiply, , , RotateScaleRotateAt, Sheare .Translate O exemplo a seguir cria a matriz de uma transformação de composição que primeiro gira 30 graus e, então, é dimensionada por um fator de 2 na direção y e movida em 5 unidades na direção x:

Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

Dim myMatrix As New Matrix()
myMatrix.Rotate(30)
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append)
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append)

A ilustração a seguir mostra a matriz.

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